Graphe de Soifer
Le graphe de Soifer est, en théorie des graphes, un graphe possédant 9 sommets et 20 arêtes. Il est construit par Alexander Soifer en 1997.
| Graphe de Soifer | |
 Représentation du graphe de Soifer. | |
| Nombre de sommets | 9 |
|---|---|
| Nombre d'arêtes | 20 |
| Distribution des degrés | 4 (5 sommets) 5 (4 sommets) |
| Rayon | 2 |
| Diamètre | 2 |
| Maille | 3 |
| Automorphismes | 2 (Z/2Z) |
| Nombre chromatique | 4 |
| Indice chromatique | 5 |
| Propriétés | Hamiltonien Planaire |
Histoire
En 1879, Alfred Kempe publie une preuve du théorème des quatre couleurs, une des grandes conjectures de la théorie des graphes[1]. Bien que le théorème soit vrai, la démonstration de Kempe, basée sur les propriétés d'une chaine particulière, est erronée. Heawood le prouve en 1890[2] (avec le graphe 4-chromatique de Heawood comme exemple) et Vallée Poussin arrive au même résultat en 1896 (avec le graphe de Poussin comme exemple)[3].
Bien que la preuve de Kempe soit fausse, les chaines de Kempe restent utiles en théorie des graphes et les exemples la contredisant intéressent toujours les mathématiciens. Par la suite d'autres graphes contre-exemples furent donc exhibés : d'abord le graphe d'Errera en 1921[4] - [5], puis le graphe de Kittell en 1935, avec 23 sommets[6].
Enfin deux contre-exemples minimaux sont construits : le graphe de Soifer, en 1997 est le premier découvert[7] - [8]. Une année plus tard, le graphe de Fritsch, également d'ordre 9, est publié[9].
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du graphe de Soifer, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.
Coloration
Le nombre chromatique du graphe de Soifer est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique du graphe de Soifer est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe, en fonction du nombre de couleurs autorisé. Cela donne une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifié de polynôme chromatique. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degrés 9. Il est égal à : .
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du graphe de Soifer est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.
Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Soifer est : .
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, Soifer Graph (MathWorld)
Références
- Kempe, A. B. "On the Geographical Problem of Four-Colors." Amer. J. Math. 2, 193-200, 1879.
- P. J. Heawood, "Map colour theorem", Quart. J. Pure Appl. Math. 24 (1890), 332–338.
- R. A. Wilson, Graphs, colourings and the four-colour theorem, Oxford University Press, Oxford, 2002. MR 2003c:05095 Zbl 1007.05002.
- Errera, A. "Du coloriage des cartes et de quelques questions d'analysis situs." Ph.D. thesis. 1921.
- Peter Heinig. Proof that the Errera Graph is a narrow Kempe-Impasse. 2007.
- Kittell, I. "A Group of Operations on a Partially Colored Map." Bull. Amer. Math. Soc. 41, 407-413, 1935.
- A. Soifer, “Map coloring in the victorian age: problems and history”, Mathematics Competitions 10 (1997), 20–31.
- Gethner, E. and Springer, W. M. II. "How False Is Kempe's Proof of the Four-Color Theorem?" Congr. Numer. 164, 159-175, 2003.
- R. Fritsch and G. Fritsch, The Four-Color Theorem, Springer, New York, 1998. MR 99i:05079.