Graphe complet

Un graphe complet est un graphe dont tous les sommets sont adjacents[1].

À isomorphisme près, il n'existe qu'un seul graphe complet non orienté d'ordre n, que l'on note ${\displaystyle K_{n}}$.

Dans un graphe G quelconque, on appelle clique un sous-ensemble de sommets induisant un sous-graphe complet de G. Rechercher une clique de taille maximum dans un graphe est un problème classique en théorie des graphes. Il est NP-complet.

La notion de graphe biparti complet existe également. Mais un graphe biparti complet n'est pas un graphe complet.

Le nombre d'arêtes de ${\displaystyle K_{n}}$ est :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(n-i\right)=\sum _{i=1}^{n-1}i={\frac {n(n-1)}{2}}}$.

Le premier terme s'obtient en remarquant que la suppression d'un premier sommet de ${\displaystyle K_{n}}$ entraîne la suppression de ${\displaystyle n-1}$ arêtes, la suppression d'un deuxième sommet, la suppression de ${\displaystyle n-2}$ arêtes, et celle d'un i-ème sommet ${\displaystyle n-i}$ arêtes. Le deuxième terme s'obtient par la même opération en marquant les arêtes au lieu de les supprimer, chaque arête est alors marquée deux fois et l'on fait ${\displaystyle n-1}$ marquages par sommet (c'est la formule générale de la demi-somme des degrés).

On peut également obtenir cette formule en voyant le nombre d’arêtes comme le nombre de couples distincts que l’on peut former avec ${\displaystyle n}$ nœuds, soit ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ arêtes, ce qui vaut bien ${\displaystyle {\dfrac {n(n-1)}{2}}}$.

Le graphe complet ${\displaystyle K_{n}}$ est symétrique : il est sommet-transitif, arête-transitif et arc-transitif. Cela signifie que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur l'ensemble de ses sommets, de ses arêtes et de ses arcs. Ce groupe d'automorphismes est de cardinal n! et est isomorphe au groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$.

Le polynôme caractéristique du graphe complet ${\displaystyle K_{n}}$ est : ${\displaystyle (x-n+1)(x+1)^{n-1}}$. Ce polynôme caractéristique n'admet que des racines entières. Le graphe complet est donc un graphe intégral, un graphe dont le spectre est constitué d'entiers.

Le graphe ${\displaystyle K_{5}}$ est le plus petit graphe non planaire. Il sert dans les caractérisations des graphes planaires de Kazimierz Kuratowski et de Klaus Wagner.

Pour chacun des graphes complets de 1 à 12 sommets, est indiqué le nombre de ses arêtes.

• 
  ${\displaystyle K_{1}}$ : 0 arête
  graphe singleton
• 
  ${\displaystyle K_{2}}$ : 1 arête
• 
  ${\displaystyle K_{3}}$ : 3 arêtes
  graphe triangle
• 
  ${\displaystyle K_{4}}$ : 6 arêtes
  graphe tétraédrique
• 
  ${\displaystyle K_{5}}$ : 10 arêtes
  pentacle
• 
  ${\displaystyle K_{6}}$ : 15 arêtes
• 
  ${\displaystyle K_{7}}$ : 21 arêtes
• 
  ${\displaystyle K_{8}}$ : 28 arêtes
• 
  ${\displaystyle K_{9}}$ : 36 arêtes
• 
  ${\displaystyle K_{10}}$ : 45 arêtes
• 
  ${\displaystyle K_{11}}$ : 55 arêtes
• 
  ${\displaystyle K_{12}}$ : 66 arêtes