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G-espérance

En théorie des probabilités, la g-espérance est une espérance non-linéaire définie à partir d'une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) introduite par Shige Peng[1].

Définition

Soit un espace probabilisé avec un processus de Wiener en dimension d (sur cet espace). Soit la filtration générée par , i.e. , et soit une variable aléatoire mesurable. Considérons l'EDSR donnée par:

Alors la g-espérance pour est donnée par . Notons que si est un vecteur de dimension m, alors (pour tout temps ) est un vecteur de dimension m et est une matrice de taille .

En fait l'espérance conditionnelle est donnée par et similairement à la définition formelle pour l'espérance conditionnelle il vient pour tout (où la fonction est la fonction indicatrice)[1].

Existence et unicité

Soit satisfaisant:

  1. est un -processus adapté pour tout
  2. l'espace L2 (où est une norme dans )
  3. est une application lipschitzienne en , i.e. pour tout et il vient pour une constante

Alors pour toute variable aléatoire il existe une unique paire de processus -adaptés qui vérifient l'équation différentielle stochastique rétrograde[2].

En particulier, si vérifie également:

  1. est continue en temps ()
  2. pour tout

alors pour la condition terminale il suit que les processus solution sont de carré intégrable. Ainsi est de carré intégrable pour tout temps [3].

Voir aussi

Références

  1. Philippe Briand, François Coquet, Ying Hu, Jean Mémin et Shige Peng, « A Converse Comparison Theorem for BSDEs and Related Properties of g-Expectation », Electronic Communications in Probability, vol. 5, no 13,‎ , p. 101–117 (DOI 10.1214/ecp.v5-1025, lire en ligne [PDF], consulté le )
  2. S. Peng, Stochastic Methods in Finance, vol. 1856, coll. « Lecture Notes in Mathematics », , 165–138 p. (ISBN 978-3-540-22953-7, DOI 10.1007/978-3-540-44644-6_4, lire en ligne [archive du ] [PDF]), « Nonlinear Expectations, Nonlinear Evaluations and Risk Measures »
  3. Z. Chen, T. Chen et M. Davison, « Choquet expectation and Peng's g -expectation », The Annals of Probability, vol. 33, no 3,‎ , p. 1179 (DOI 10.1214/009117904000001053, arXiv math/0506598)
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