G-espérance

Soit un espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ avec ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ un processus de Wiener en dimension d (sur cet espace). Soit la filtration générée par ${\displaystyle (W_{t})}$, i.e. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:s\in [0,t])}$, et soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ mesurable. Considérons l'EDSR donnée par:

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t},Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}}$

Alors la g-espérance pour ${\displaystyle X}$ est donnée par ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}}$. Notons que si ${\displaystyle X}$ est un vecteur de dimension m, alors ${\displaystyle Y_{t}}$ (pour tout temps ${\displaystyle t}$) est un vecteur de dimension m et ${\displaystyle Z_{t}}$ est une matrice de taille ${\displaystyle m\times d}$.

En fait l'espérance conditionnelle est donnée par ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:=Y_{t}}$ et similairement à la définition formelle pour l'espérance conditionnelle il vient ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]}$ pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$ (où la fonction ${\displaystyle 1}$ est la fonction indicatrice)[1].

Soit ${\displaystyle g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}\to \mathbb {R} ^{m}}$ satisfaisant:

1. ${\displaystyle g(\cdot ,y,z)}$ est un ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-processus adapté pour tout ${\displaystyle (y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}}$
2. ${\displaystyle \int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )}$ l'espace L2 (où ${\displaystyle |\cdot |}$ est une norme dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$)
3. ${\displaystyle g}$ est une application lipschitzienne en ${\displaystyle (y,z)}$, i.e. pour tout ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}}$ et ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$ il vient ${\displaystyle |g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2})|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)}$ pour une constante ${\displaystyle C}$

Alors pour toute variable aléatoire ${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P}$ ;\mathbb {R} ^{m})} il existe une unique paire de processus ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-adaptés ${\displaystyle (Y,Z)}$ qui vérifient l'équation différentielle stochastique rétrograde[2].

En particulier, si ${\displaystyle g}$ vérifie également:

1. ${\displaystyle g}$ est continue en temps (${\displaystyle t}$)
2. ${\displaystyle g(t,y,0)\equiv 0}$ pour tout ${\displaystyle (t,y)\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{m}}$

alors pour la condition terminale ${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P}$ ;\mathbb {R} ^{m})} il suit que les processus solution ${\displaystyle (Y,Z)}$ sont de carré intégrable. Ainsi ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$ est de carré intégrable pour tout temps ${\displaystyle t}$[3].

• Espérance mathématique