Formule de la co-aire

Soit u une fonction de ℝⁿ dans ℝ, lipschitzienne donc dérivable presque partout. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝⁿ,${\displaystyle \int _{A}\|\nabla u(x)\|~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }H^{n-1}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm {d} t}$

où ║∇u║ est la norme euclidienne du gradient de u et H ^{n – 1} est la mesure de Hausdorff de dimension n – 1

ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝⁿ dans [0, +∞],

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\|\nabla u(x)\|~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)~dH^{n-1}(x)\right)~\mathrm {d} t.}$

Soit u une fonction lipschitzienne de ℝⁿ dans ℝ^k avec k ≤ n. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝⁿ,${\displaystyle \int _{A}J_{k}u(x)~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{k}}H^{n-k}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm {d} t}$

où J_ku est le jacobien k-dimensionnel de u : ${\displaystyle J_{k}u(x)={\sqrt {\det \left(J_{u}(x)^{\operatorname {t} }\!J_{u}(x)\right)}}.}$ ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝⁿ dans [0, +∞],${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)J_{k}u(x)~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{k}}\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)~\mathrm {d} H^{n-k}(x)\right)~\mathrm {d} t.}$

Remarques

• Dans la première de ces deux formules, le fait préalable (implicite ici) que pour presque tout t dans ℝ^k, la dimension de Hausdorff de l'ensemble A ∩ u⁻¹(t) vaut n – k, peut s'interpréter comme une généralisation du théorème de Sard.
• Dans la seconde on retrouve, pour u égal à la projection sur les k premières coordonnées, le théorème classique de Fubini-Tonelli sur ℝ^k × ℝ^{n – k}.
• Ce théorème se généralise encore[1], en une formule de la co-aire pour les variétés (en), en prenant u lipschitzienne, d'une variété riemannienne de classe C¹, de dimension n, dans une autre, de dimension k ≤ n.
• La « formule de l'aire[3] », plus classique, concerne le cas k ≥ n et le jacobien n-dimensionnel,${\displaystyle J_{n}u(x)={\sqrt {\det \left(^{\operatorname {t} }\!J_{u}(x)J_{u}(x)\right)}}.}$

• En prenant u(x) = ║x║, on retrouve, pour une fonction intégrable f, la formule d'intégration en coordonnées sphériques :${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)~\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{S(0,r)}f~\mathrm {d} S\right)~\mathrm {d} r.}$
• En combinant la formule de la co-aire avec l'inégalité isopérimétrique[4] nω_n^1/nλ_n(A)^{(n – 1)/n} ≤ M_{n – 1}(∂A), où ω_n est le volume de la boule unité de ℝⁿ, on démontre l'inégalité de Sobolev pour u ∈ W^1,1 avec constante optimale :${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{\frac {n-1}{n}}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\|\nabla u\|.}$

• (en) Jan Malý, David Swanson et William P. Ziemer, « The co-area formula for Sobolev mappings », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, n^o 2,‎ 2002, p. 477-492 (lire en ligne)
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coarea formula » (voir la liste des auteurs).

• Théorème de Brothers-Ziemer (it)