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Formule d'Auslander-Buchsbaum

La formule d'Auslander-Buchsbaum est une formule d'algèbre commutative énoncée par Auslander et Buchsbaum[1] en 1957.

Énoncé

La formule d'Auslander-Buchsbaum dit que si R est un anneau noethérien local commutatif et M est un R-module de finiment engendré non nul de dimension projective finie, alors :

pd depth depth.

Ici, « pd » représente la dimension projective d'un module et « depth » la profondeur d'un module.

Applications

La formule d'Auslander-Buchsbaum implique qu'un anneau local noethérien est régulier si et seulement s'il a une dimension globale finie. Cela implique à son tour que la localisation d'un anneau local régulier est régulière.

Si A est une R-algèbre locale de type fini (sur un anneau local régulier R), alors la formule d'Auslander-Buchsbaum implique que A est Cohen-Macaulay (en) si, et seulement si, pd codim.

Bibliographie

  • David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (no 150), , xvi + 785 (zbMATH 0819.13001), Chapitre 19.

Notes et références

  1. Auslander et Buchsbaum 1957, théorème 3.7.
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