Formule booléenne quantifiée

L'ensemble des formules booléennes quantifiées est défini par induction :

• Une variable propositionnelle est une formule booléenne quantifiée ;
• Si ${\displaystyle \phi }$ est une formule booléenne quantifiée, alors ${\displaystyle \lnot \phi }$ est une formule booléenne quantifiée ;
• Si ${\displaystyle \phi }$ et ${\displaystyle \psi }$ sont deux formules booléennes quantifiées, alors ${\displaystyle \phi \land \psi }$ est une formule booléenne quantifiée ;
• Si ${\displaystyle \phi }$ est une formule booléenne quantifiée et ${\displaystyle p}$ est une variable propositionnelle, alors ${\displaystyle \forall p\phi }$ et ${\displaystyle \exists p\phi }$ sont des formules booléennes quantifiées.

On définit le fait qu'une assignation satisfait une formule booléenne quantifiée par induction. Si une formule booléenne quantifiée est close (toutes les variables sont sous la portée d'un quantificateur), alors la valeur de vérité de la formule ne dépend pas de l'assignation. Si toute assignation satisfait la formule, on dira que cette formule est vraie.

Il existe une autre définition équivalente de la sémantique en matière de jeux à deux joueurs. Le joueur 1 attribue des valeurs aux variables propositionnelles quantifiées existentiellement et le joueur 2 attribue des valeurs aux variables propositionnelles quantifiées universellement. Les joueurs donnent les valeurs aux variables dans l'ordre des quantifications. Le joueur 1 gagne si à la fin du jeu la formule propositionnelle est vraie. Une formule QBF est satisfiable si le joueur 1 a une stratégie gagnante.

Une formule booléenne quantifiée est en forme normale prénexe si tous les quantificateurs sont regroupés à l'avant de la formule, c'est-à-dire de la forme ${\displaystyle \displaystyle Q_{1}x_{1}Q_{2}x_{2}\cdots Q_{n}x_{n}\phi (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})}$ où chaque ${\displaystyle Q_{i}}$ est soit un quantificateur existentiel ${\displaystyle \exists }$ soit un quantificateur universel ${\displaystyle \forall }$. Toute formule booléenne quantifiée est équivalente à une formule booléenne quantifiée en forme normale prénexe. On peut même transformer, quitte à rajouter des variables inutiles, toute formule prénexe en formule équivalente de la forme ${\displaystyle \displaystyle \exists x_{1}\forall x_{2}\exists x_{3}\cdots Q_{n}x_{n}\phi (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})}$

où ${\displaystyle Q_{n}=\exists }$ si ${\displaystyle n}$ est impair et ${\displaystyle Q_{n}=\forall }$ si ${\displaystyle n}$ est pair et ou ${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})}$ est une formule de la logique propositionnelle.

On donne un algorithme en espace polynomial qui prend en entrée une assignation ${\displaystyle \nu }$ et une formule booléenne quantifiée ${\displaystyle \phi }$ que l'on suppose prénexe.

  qbf-sat(${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \phi }$)
    si ${\displaystyle \phi }$ est propositionnelle
           retourner oui si ${\displaystyle \nu \models \phi }$ ; non sinon.
    sinon si ${\displaystyle \phi }$ est de la forme ${\displaystyle \exists p\psi }$
           retourner qbf-sat(${\displaystyle \nu [p:=0]}$, ${\displaystyle \psi }$) ou qbf-sat(${\displaystyle \nu [p:=1]}$, ${\displaystyle \psi }$)
    sinon si ${\displaystyle \phi }$ est de la forme ${\displaystyle \forall p\psi }$
           retourner qbf-sat(${\displaystyle \nu [p:=0]}$, ${\displaystyle \psi }$) et qbf-sat(${\displaystyle \nu [p:=1]}$, ${\displaystyle \psi }$)

où ${\displaystyle \nu [p:=0]}$ est l'assignation ${\displaystyle \nu }$ sauf pour ${\displaystyle p}$ qui est fausse et ${\displaystyle \nu [p:=1]}$ est l'assignation ${\displaystyle \nu }$ sauf pour ${\displaystyle p}$ qui est vraie.

Pour montrer que QBF-SAT est PSPACE-dur[2], on considère un problème A dans PSPACE et on donne une réduction polynomiale de A dans QBF-SAT. A toute instance x de A, on construit une formule booléenne quantifiée close tr(x) telle que x est une instance positive de A ssi tr(x) est vraie. L'idée est que tr(x) code l'existence d'une exécution acceptante d'une machine de Turing pour A sur l'entrée x. Pour que tr(x) reste de taille polynomiale, on utilise le paradigme diviser pour régner[2].

La réduction précédente fonctionne si A est dans NPSPACE. Ainsi, on a donné une autre preuve de PSPACE = NPSPACE (cas particulier du théorème de Savitch).

Si on borne le nombre d'alternations de quantificateurs dans la formule donnée en entrée du problème QBF-SAT, on obtient des problèmes complets à différents niveaux de la hiérarchie polynomiale :

• Le problème où la formule d'entrée est de la forme ${\displaystyle \displaystyle \exists {\vec {x}}_{1}\phi }$ où ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}_{1}}$est un ensemble de variables propositionnelles et ${\displaystyle \phi }$ est une formule propositionnelle, alors il s'agit du problème SAT et il est NP-complet ;
• Le problème où la formule d'entrée est de la forme ${\displaystyle \displaystyle \forall {\vec {x}}_{1}\phi }$ où ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}_{1}}$est un ensemble de variables propositionnelles et ${\displaystyle \phi }$ est une formule propositionnelle, alors il s'agit du problème de la validité d'une formule de la logique propositionnelle et il est coNP-complet ;
• Le problème où la formule d'entrée est de la forme ${\displaystyle \displaystyle \exists {\vec {x}}_{1}\forall {\vec {x}}_{2}\phi }$ où ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}_{1}}$et ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}_{2}}$ sont deux ensembles de variables propositionnelles et ${\displaystyle \phi }$ est une formule propositionnelle, alors le problème est ${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$-complet ;
• Le problème où la formule d'entrée est de la forme ${\displaystyle \displaystyle \forall {\vec {x}}_{1}\exists {\vec {x}}_{2}\phi }$ où ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}_{1}}$et ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}_{2}}$ sont deux ensembles de variables propositionnelles et ${\displaystyle \phi }$ est une formule propositionnelle, alors le problème est ${\displaystyle \Pi _{2}^{P}}$-complet ;
• etc.

Certains solveurs prennent un fichier au format QDIMACS[5] qui est une variante du format DIMACS pour SAT. Il existe le format QCIR (pour Quantified CIRcuit)[6].

Il existe plusieurs techniques algorithmiques pour résoudre QBF-SAT[7] :

• l'apprentissage de clauses. C'est une technique également utilisé dans l'algorithme DPLL pour SAT ;
• Counterexample guided abstraction refinement (CEGAR)[8] ;
• Expansion. L'expansion consiste à recopier la formule propositionnelle en instanciant les variables universelles ;
• Calcul de fonctions de Skolem[9]
• Algorithme FTP en la treewidth du graphe de contraintes (c'est-à-dire pour la relation, "apparaître dans la même clause") et le nombre d'alternation de quantificateur utilisant de la programmation dynamique. L'algorithme est en temps ${\displaystyle O(2^{2^{2^{.}..^{2^{w+1}}}}\times |\phi |)}$où w est la treewidth, le nombre de 2 dans la tour d'exponentielle est le nombre d'alternation.

Une extension intéressante est dependency quantified binary formulas (DQBF)[11]. Dans QBF, une variable quantifiée existentiellement dépend des variables précédentes. Par exemple, dans la formule ${\displaystyle \displaystyle \forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\exists y_{1}\exists y_{2}\phi (x_{1},x_{2},y_{1})\land \psi (x_{1},x_{3},y_{2})}$, les variables propositionnelles ${\displaystyle y_{1}}$et ${\displaystyle y_{2}}$dépendent toutes les deux des variables ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$et ${\displaystyle x_{3}}$. En DQBF, on peut spécifier des dépendances plus fines comme ${\displaystyle y_{1}}$ ne dépend que de ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle y_{2}}$ ne dépend que de ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$. On écrit une formule comme ${\displaystyle \displaystyle \forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\exists y_{1}(x_{1},x_{2})\exists y_{2}(x_{1},x_{3})\phi (x_{1},x_{2},y_{1})\land \psi (x_{1},x_{3},y_{2})}$. Le problème de satisfiabilité d'une formule de DQBF est NEXPTIME-complet.

Une autre formulation de DQBF existe en termes de jeu à trois joueurs[12] : N, B1 et B2. Il y a deux équipes : l'équipe noire (N) et l'équipe blanche (B1 et B2). L'entrée est une forme normale conjonctive (FNC) sur des variables propositionnelles dans X1 U Y1 U X2 U Y2. L'objectif est de décider le joueur blanc a une stratégie gagnante au jeu suivant. Le joueur noir choisit une assignation des variables dans X1 U X2. Le joueur B1 choisit alors une assignation de Y1, puis le B2 choisit une assignation de Y2. Le joueur i blanc ne voit que les assignations de Xi et Yi. L'équipe blanche (noire) gagne si la FNC est vraie (fausse).

Le problème de satisfiabilité des fragments de QBF suivants se décide en temps polynomial :

• lorsque la formule propositionnelle est une conjonction de clauses de Horn[13] ;
• lorsque la formule propositionnelle est un 2-SAT, c'est-à-dire une conjonction de clauses avec au plus 2 littéraux[14].