Réduction polynomiale

Soit ${\displaystyle Q\!}$ un problème de décision. Les instances de ce problème sont des objets abstraits au sens où leur définition est purement mathématique. Pour permettre l'implémentation de ce problème, elles doivent être cependant représentées sous une forme compréhensible par le programme. Ici intervient la notion de codage. On définit une fonction de codage ${\displaystyle c\!}$ d'un problème de décision ${\displaystyle Q\!}$ comme étant une application injective qui associe à l'ensemble des instances abstraites de ${\displaystyle Q\!}$ un élément de ${\displaystyle \left\{0,1\right\}^{*}}$. Ainsi, lorsqu'un programmeur code un problème, les variables représentant les instances du problème sont traduites (par le compilateur dans le cas des langages statiques, par l'interpréteur dans le cas des langages dynamiques) en langage binaire. Le codage est donc un moyen de passer d'un problème abstrait à un problème concret. De fait, si la solution à une instance de problème de décision abstrait ${\displaystyle i\in I}$ est ${\displaystyle Q(i)\in \left\{0,1\right\}}$, alors la solution de l'instance du problème concret ${\displaystyle c(i)\in \left\{0,1\right\}^{*}}$ est aussi ${\displaystyle Q(i)\!}$. Un léger problème se pose cependant : il est possible que des éléments de ${\displaystyle \left\{0,1\right\}^{*}}$ ne correspondent à aucune instance du problème (autrement dit, qu'ils n'ont aucun antécédent). Par commodité, on supposera que toute chaîne de ce type a pour image 0.

• Un algorithme ${\displaystyle A\!}$ accepte une chaîne ${\displaystyle x\in \left\{0,1\right\}^{*}}$ si, étant donné une entrée ${\displaystyle x\!}$, l'algorithme sort ${\displaystyle A(x)=1\!}$
• Un algorithme ${\displaystyle A\!}$ rejette une chaîne ${\displaystyle x\!}$ si ${\displaystyle A(x)=0\!}$.

• Le langage accepté par un algorithme ${\displaystyle A\!}$ est l'ensemble des chaînes acceptées par l'algorithme, soit ${\displaystyle L=\left\{x\in \left\{0,1\right\}^{*}:A(x)=1\right\}}$.

• Un langage ${\displaystyle L\!}$ est décidé par un algorithme ${\displaystyle A\!}$ si toute chaîne binaire n'appartenant pas à ${\displaystyle L\!}$ est rejetée par ${\displaystyle A\!}$.

On peut, de manière informelle définir une classe de complexité comme un ensemble de langages dont l'appartenance est déterminée par une mesure de la complexité d'un algorithme qui détermine si une chaîne donnée ${\displaystyle x\!}$ appartient au langage ${\displaystyle L\!}$. Ainsi la classe de complexité ${\displaystyle P\!}$ peut-être définie comme étant l'ensemble des langages sur ${\displaystyle \left\{0,1\right\}^{*}}$ qui sont décidés par un algorithme en temps polynomial.

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