Fonction triangulaire

La définition la plus commune est une fonction affine par morceaux :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-|x|,0)\\[3pt]&={\begin{cases}1-|x|\quad &{\text{si }}|x|<1\\0\quad &{\text{sinon}}\\\end{cases}}\\[3pt]&=\Pi (x/2)\left(1-|x|\right)\end{aligned}}}$

De façon équivalents, la fonction triangulaire peut être définie comme la fonction d'auto-convolution de la fonction porte :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\left\{\Pi *\Pi \right\}(x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi (x-\tau )\cdot \Pi (\tau )\,\mathrm {d} \tau .\\\end{aligned}}}$

Fonction triangulaire alternative

Certains auteurs utilisent une définition de la fonction triangulaire de largeur 1 au lieu de 2 :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max \left(1-2|x|,0\right)\\[3pt]&={\begin{cases}1-2|x|,&{\text{si }}|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{sinon}}.\\\end{cases}}\\[3pt]&=\Pi (x)\left(1-2|x|\right)\end{aligned}}}$

Dans sa forme la plus générale, une fonction triangulaire est une B-spline linéaire[1]:

${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}{\tfrac {x-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}},&{\text{si }}x_{j-1}\leq x<x_{j};\\[6pt]{\tfrac {x_{j+1}-x}{x_{j+1}-x_{j}}},&{\text{si }}x_{j}\leq x<x_{j+1};\\[6pt]0&{\text{sinon}}.\end{cases}}}$

La première définition donnée est un cas particulier :

${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$

avec x_j–1 = –1, x_j = 0 et x_j+1 = 1.

Pour tout paramètre ${\displaystyle a\neq 0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{sinon}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Grâce aux propriétés de la transformation de Fourier sur la convolution, le calcul montre que la transformée de Fourier de la fonction triangulaire est le carré de celle de la fonction porte :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} \}(t)&={\mathcal {F}}\{\Pi *\Pi \}(t)\\&={\mathcal {F}}\{\Pi \}(t)\cdot {\mathcal {F}}\{\Pi \}(t)\\&={\mathcal {F}}\{\Pi \}(t)^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$

où sinc désige ici la fonction sinus cardinal normalisée sinc(x) = sin(π x) / (π x).

• Fonction de Källén, une fonction triangulaire définie sur R³
• Loi triangulaire et loi d'Irwin-Hall
• Signal triangulaire
• Fonction trigonométrique

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular function » (voir la liste des auteurs).