Expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

La première simulation numérique, c’est-à-dire la première « expérience virtuelle » entièrement réalisée sur ordinateur, fut réalisée en 1953. Son nom rappelle le rôle du physicien Enrico Fermi, de l'informaticien John R. Pasta et du mathématicien Stanislaw Ulam ; deux lignes dans le rapport[1] reconnaissent le rôle de la programmeuse Mary Tsingou[2] ; d'où le nom proposé aujourd'hui[3] de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou.

À cette époque, on pensait que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non intégrables. Or, si le problème purement harmonique est intégrable, le problème perturbé ne l'est plus. Les trois auteurs de cette simulation s'attendaient donc à observer une « thermalisation approchée » du système perturbé par la faible anharmonicité, l'énergie se répartissant de façon approximativement égale sur les différents modes. Le résultat fut très surprenant : la thermalisation n'a pas lieu, la dynamique réelle du système perturbé étant quasi périodique !

Depuis lors, le théorème KAM nous a appris que la perturbation d'un système intégrable ne conduisait pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants pouvaient subsister dans des régions de mesures finies de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi périodique.

Si l'on note ${\displaystyle x_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,N=64}$) le déplacement de la i-ème masse par rapport à sa position d'équilibre, les systèmes d'équations différentielles couplées étudiés numériquement par FPUT sont les suivants :

• anharmonicité quadratique,

${\displaystyle {\ddot {x}}_{i}\ =\ \left(x_{i+1}\ +\ x_{i-1}\ -\ 2\,x_{i}\right)\ +\ \alpha \ \left[\ \left(x_{i+1}\ -\ x_{i}\right)^{2}\ -\ \left(x_{i}\ -\ x_{i-1}\right)^{2}\ \right]}$,

où ${\displaystyle \alpha }$ est un petit paramètre ;

• anharmonicité cubique,

${\displaystyle {\ddot {x}}_{i}\ =\ \left(x_{i+1}\ +\ x_{i-1}\ -\ 2\,x_{i}\right)\ +\ \beta \ \left[\ \left(x_{i+1}\ -\ x_{i}\right)^{3}\ -\ \left(x_{i}\ -\ x_{i-1}\right)^{3}\ \right]}$,

où ${\displaystyle \beta }$ est un petit paramètre.