Evert Willem Beth

Le théorème de définissabilité énonce qu'un prédicat (via aussi une constante ou une fonction) est implicitement définissable si et seulement s'il est explicitement définissable.

Les tableaux sémantiques sont une méthode de preuve logique alliant à la fois des notions syntaxiques et sémantiques. Il se différencie des systèmes de déductions purement syntaxiques comme la déduction naturelle et le calcul des séquents de Gentzen ou les systèmes axiomatiques dits "à la Hilbert".

Ce type de méthode de résolution est jugé plus simple à acquérir pour un étudiant novice en logique et est souvent présenté dans les manuels d'initiation sous des noms et des formes légèrement différentes. Voir par exemple Logic de Wilfrid Hodges, First-order logic and automated theorem proving de Melvin Fitting, ou dans une présentation très claire en français Introduction à la Logique de François Rivenc (méthode appelée dans ce dernier ouvrage, "méthode des arbres de vérité" et élaborée par Roger Martin).

On veut prouver qu'un ensemble ${\displaystyle \Gamma }$ de formules implique une certaine formule ${\displaystyle \phi }$ conformément aux règles de la logique du premier ordre.

On procède par l'absurde.

On commence par former la théorie T formée de toutes les formules appartenant à ${\displaystyle \Gamma }$ et de ${\displaystyle \neg \phi }$ (la négation de ${\displaystyle \phi }$).

Puis on applique des règles d'inférence

1. de type sémantique (en éliminant les quantificateurs universels et existentiels des formules par l'introduction de constantes d'individus tentant à former l'ensemble de base d'un modèle de la théorie T) et
2. de type syntaxique (par embranchements prenant une forme arborescente)

qui amènent à des formules plus simples menant à des contradictions sur chacune des branches.

Parvenu à ce point, il est établi que ${\displaystyle \Gamma \cup \{\neg \phi \}}$ est incohérent (ou plus précisément, aspect sémantique, n'est pas satisfaisable (quelles que puissent être les constantes d'individus introduites) et que ${\displaystyle \Gamma }$ implique ${\displaystyle \phi }$.

Remarque fondamentale : cette procédure aboutit toujours au résultat escompté lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ implique bien ${\displaystyle \phi }$.

Par contre lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ n'implique pas ${\displaystyle \phi }$, le problème consiste alors à prouver que T est cohérent (ou dit en termes sémantiques est satisfaisable), ce qui n'est pas toujours possible. Voyons donc :

Cette méthode peut aussi s'appliquer pour prouver qu'un ensemble ${\displaystyle \Gamma }$ de formules est cohérent en arrivant à en construire un modèle ayant pour base les constantes d'individus (ou plutôt leur interprétation, voir ...) introduites.

Mais cette procédure, contrairement à la précédente, n'aboutit pas toujours lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ est cohérent mais n'a que des modèles infinis ; voir théorème de semi-décidabilité du calcul des prédicats du premier ordre de Church.