Espace UMD

• Une série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ est appelée inconditionnellement convergente, si pour chaque suite ${\displaystyle \left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ avec ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},}$ la série

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$

converge.

• Soit ${\displaystyle (M_{n})_{n\in N}}$ une martingale à valeurs en ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adapté. ${\displaystyle (M_{n})_{n\in N}}$ est une ${\displaystyle L^{p}}$-martingale si ${\displaystyle M_{n}\in L^{p}(\Omega ,E)}$ pour tout ${\displaystyle n}$, cela signifie

${\displaystyle \max \limits _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} \left[\|M_{n}\|_{E}^{p}\right]<\infty }$.

• Pour une martingale ${\displaystyle (M_{n})_{n\in N}}$ la suite de différence de martingale ${\displaystyle (dM_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est définie comme

${\displaystyle dM_{n}:=M_{n}-M_{n-1}}$

avec ${\displaystyle M_{0}=0}$. Si ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est une ${\displaystyle L^{p}}$-martingale, alors ${\displaystyle (dM_{n})_{n\in N}}$ est appelé une « suite de différence de ${\displaystyle L^{p}}$-martingale ».

Soit ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite avec ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,1\}}$ pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Un espace de Banach ${\displaystyle E}$ est un UMD_p-espace si pour un certain ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ et une constante ${\displaystyle \beta }$, il existe telle que pour toutes les suites de différence de ${\displaystyle L^{p}}$-martingales ${\displaystyle (dM_{n})_{n=1}^{N}}$ à valeurs en ${\displaystyle E}$ avec ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ et tout ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ l'inégalité suivante tient

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left\|\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}\right\|_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[\left\|\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}\right\|_{E}^{p}\right].}$[1]

Si ${\displaystyle X}$ est un espace UMD_p pour un ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$, alors ${\displaystyle X}$ également un espace UMD_q pour tout ${\displaystyle q\in (1,\infty )}$.

• Tous les espaces UMD sont des réflexifs. Ils sont même super-réflexifs.
• Tous les espaces UMD sont K-convexes.

Une caractérisation purement analytique des espaces UMD via la transformation de Hilbert vient de Donald Burkholder[4] et Bourgain[5]. Soit ${\displaystyle E}$ un espace UMD arbitraire et ${\displaystyle \mathbb {T} }$ le tore. Ensuite, ils ont prouvé que les espaces UMD_p sont précisément les espaces sur lesquels :

• La transformation de Hilbert est bornée à ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,E)}$ ;
• La projection de Riesz est bornée à ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ,E)}$ ;

Et donc elles sont aussi bornées pour tout ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$.

• Tous les espaces non réflexifs (${\displaystyle L^{1}(S)}$, ${\displaystyle C(S)}$ etc. pour un espace σ-fini ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$)

• (en) Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar et Lutz Weis, Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory, Springer International Publishing, 2016 (ISBN 978-3-319-48520-1, DOI 10.1007/978-3-319-48520-1_4), p. 267-372.
• (en) Gilles Pisier, Martingales in Banach Spaces, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2016 (DOI 10.1017/CBO9781316480588), p. 151-217.