Distance interréticulaire

La distance interréticulaire d_hkl est donnée par :

${\displaystyle d_{hkl}={\frac {1}{\|{\vec {H}}\|}}={\frac {1}{\sqrt {{\vec {H}}^{T}G_{r}{\vec {H}}}}}}$

où :

• G_r est le tenseur métrique du réseau réciproque ;
• ${\displaystyle {\vec {H}}=h{\vec {a_{r}}}+k{\vec {b_{r}}}+l{\vec {c_{r}}}}$ est le vecteur normal à un plan de la famille {hkl) ;
• ${\displaystyle {\vec {a_{r}}}}$, ${\displaystyle {\vec {b_{r}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {c_{r}}}}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque ;
• ${\displaystyle {\vec {H}}^{T}}$ est la transposée du vecteur ${\displaystyle {\vec {H}}}$.

Dans le cas général triclinique, le tenseur métrique réciproque s'écrit :

${\displaystyle G_{r}={\begin{bmatrix}a_{r}^{2}&a_{r}b_{r}\cos {\gamma _{r}}&a_{r}c_{r}\cos {\beta _{r}}\\a_{r}b_{r}\cos {\gamma _{r}}&b_{r}^{2}&b_{r}c_{r}\cos {\alpha _{r}}\\a_{r}c_{r}\cos {\beta _{r}}&b_{r}c_{r}\cos {\alpha _{r}}&c_{r}^{2}\end{bmatrix}}\ =G^{-1}}$

où ${\displaystyle a}$_r, ${\displaystyle b}$_r, ${\displaystyle c}$_r, ${\displaystyle \alpha }$_r, ${\displaystyle \beta }$_r et ${\displaystyle \gamma }$_r sont les paramètres de maille du réseau réciproque et G est le tenseur métrique du réseau direct. ${\displaystyle \alpha }$_r, ${\displaystyle \beta }$_r et ${\displaystyle \gamma }$_r sont les angles entre les directions portées par les vecteurs ${\displaystyle b}$_r et ${\displaystyle c}$_r ; ${\displaystyle c}$_r et ${\displaystyle a}$_r ; ${\displaystyle a}$_r et ${\displaystyle b}$_r respectivement.

On obtient ainsi :

${\displaystyle d_{hkl}={\frac {1}{\sqrt {h^{2}a_{r}^{2}+k^{2}b_{r}^{2}+l^{2}c_{r}^{2}+2hka_{r}b_{r}\cos {\gamma _{r}}+2hla_{r}c_{r}\cos {\beta _{r}}+2klb_{r}c_{r}\cos {\alpha _{r}}}}}}$

exprimé en fonction des paramètres de maille du réseau réciproque, ou

${\displaystyle d_{hkl}={\sqrt {\frac {1-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }+2\cos {\alpha }.\cos {\beta }.\cos {\gamma }}{{\frac {h^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}{\alpha }+{\frac {k^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}{\beta }+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}{\gamma }-{\frac {2kl}{bc}}(\cos {\alpha }-\cos {\beta }.\cos {\gamma })-{\frac {2lh}{ca}}(\cos {\beta }-\cos {\gamma }.\cos {\alpha })-{\frac {2hk}{ab}}(\cos {\gamma }-\cos {\alpha }.\cos {\beta })}}}}$

exprimé en fonction des paramètres de maille du réseau direct.

Dans le cas cubique, cette formule se réduit à :

${\displaystyle d_{hkl}={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}}$

Dans le cas tétragonal, cette formule se réduit à :

${\displaystyle d_{hkl}={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}l^{2}}}}}$

Dans le cas hexagonal, cette formule se réduit à :

${\displaystyle d_{hkl}={\frac {1}{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {h^{2}+k^{2}+hk}{a^{2}}}+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}}}}}$

1. (en) X-Ray Diffraction by Polycrystalline Materials ; eds. Peiser HS, Rooksby HP, Wilson AJC ; The Institute of Physics, Chapman & Hall Ltd (1955), p. 42