Distance d'un point à une droite

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (x_A ; y_A), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule

${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=\mathrm {AA} _{h}={\frac {|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note ${\displaystyle {\vec {n}}}$ le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}}$ et ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est donnée par les deux expressions :

${\displaystyle |{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\cdot {\vec {n}}|=|a(x-x_{\mathrm {A} })+b(y-y_{\mathrm {A} })|=|ax_{\mathrm {A} }+by_{\mathrm {A} }+c|}$ ( ax + by = - c car M est un point de (d))

${\displaystyle |{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\cdot {\vec {n}}|=\mathrm {AA} _{h}\times ||{\vec {n}}||=\mathrm {AA} _{h}\times {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

En particulier :

• si la droite a pour équation y = mx + p alors ${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {|y_{\mathrm {A} }-mx_{\mathrm {A} }-p|}{\sqrt {1+m^{2}}}}}$ ;
• si la droite a pour équation x = a alors ${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=|x_{\mathrm {A} }-a|}$
• si la droite est donnée par son équation normale: ${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0}$ alors ${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=\left\vert x_{A}\cos \theta +y_{A}\sin \theta -p\right\vert }$ (où, bien entendu ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$ et ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.

Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme ${\displaystyle P(x;y)=\cos \theta \,x+\sin \theta \,y-p}$ (avec ${\displaystyle p>0}$) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà[1], en deçà ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la puissance d'un point par rapport à un cercle qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur ${\displaystyle {\vec {u}}}$, la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}}$ représente le produit vectoriel des vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et où ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|}$ représente la norme du vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

En effet, si l'on note C le point de (d ) tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BC} }}={\vec {u}}}$ alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

${\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {ABC} }={\frac {1}{2}}\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {BC} }}\right\|}$

${\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {ABC} }={\frac {1}{2}}\mathrm {BC} \times \mathrm {AA} _{h}}$.

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d ). Si la droite (d ) est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d₁ et d₂ les distances du point A à ces deux plans, on a :

${\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\sqrt {{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}}}}$.

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur ${\displaystyle {\vec {u}}}$. Tout point ${\displaystyle M\in (d)}$ peut être écrit ainsi

${\displaystyle M=B+t{\vec {u}}}$

La distance entre le point A et la droite (d) se trouve en calculant la distance AM avec M le point de (d) le plus proche de A. Cela revient à trouver t

${\displaystyle t={\frac {{\overrightarrow {BA}}.{\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {BA}}.{\vec {u}}}$ représente le produit scalaire des vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {BA}}}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}}$. On a donc

${\displaystyle d(A,(d))=\|A-B-t{\vec {u}}\|=\left\|{\overrightarrow {BA}}-{\frac {{\overrightarrow {BA}}.{\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}{\vec {u}}\right\|}$

Démonstration :

Cela revient à trouver ${\displaystyle M}$ qui minimise ${\displaystyle AM}$. Minimiser ${\displaystyle AM^{2}}$ revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).

${\displaystyle AM^{2}=({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}}).({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})}$

On cherche ${\displaystyle {\frac {dAM^{2}}{dt}}=0}$, pour trouver ce minimum.

${\displaystyle {\frac {dAM^{2}}{dt}}=2{\vec {u}}.({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})=0}$

${\displaystyle 2{\vec {u}}.{\overrightarrow {AB}}+2t{\vec {u}}.{\vec {u}}=2{\vec {u}}.{\overrightarrow {AB}}+2t\|{\vec {u}}\|^{2}=0}$

${\displaystyle t={\frac {{\overrightarrow {BA}}.{\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}}$

• Distance
• Distance d'un point à un plan
• Distance entre deux droites gauches
• Propriétés métriques des droites et plans