Diagramme de décision binaire

Exemple de diagramme de décision binaire.

Un diagramme de décision binaire (BDD) est un graphe acyclique, comme montré dans la figure ci-contre. Il est composé de nœuds non terminaux porteurs de questions, aussi nommés nœuds de décision (dans l'exemple, il s'agit des 5 nœuds ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{2},x_{3}{\text{et }}x_{3}}$) et d'au plus deux nœuds terminaux étiquetés par ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$. Chaque nœud non terminal a deux successeurs, l'un par un arc marqué ${\displaystyle 1}$ pour 'oui/vrai' et l'autre par un arc marqué ${\displaystyle 0}$ pour 'non/faux'. Un diagramme de décision binaire possède un seul sommet initial ou racine (dans l'exemple, il s'agit du nœud ${\displaystyle x_{1}}$).

Un chemin de la racine à un nœud terminal représente une affectation de variables (partielle ou pas) : on affecte à la variable qui étiquette un nœud la valeur ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$ selon qu'on a pris l'arc sortant marqué par ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$.

Un BDD représente une fonction booléenne ${\displaystyle f}$. Un chemin de la racine au terminal 1 représente une affectation de variables (partielle ou pas) pour laquelle la fonction booléenne ${\displaystyle f}$ représentée est vraie. Un exemple d'assignation de variables pour laquelle la fonction ${\displaystyle f}$ est vraie est ${\displaystyle x_{1}=0{\text{ et }}x_{2}=x_{3}=1}$. Si on considère un chemin de la racine au terminal ${\displaystyle 0}$, alors celui-ci représente une assignation de variables pour laquelle la fonction ${\displaystyle f}$ est fausse. Un exemple d'une assignation partielle dans ce cas est ${\displaystyle x_{1}=1{\text{ et }}x_{2}=0}$, dans ce cas, et quelle que soit la valeur de ${\displaystyle x_{3}}$, la fonction ${\displaystyle f}$ est fausse.

Un BDD non réduit (il s'agit d'ailleurs d'un arbre de décision)

On peut réduire le nombre de nœuds d'un BDD en appliquant ces deux règles autant de fois que possible[2] :

1. supprimer un nœud non terminal si les deux arcs sortants pointent vers le même sous-graphe ;
2. si deux sous-graphes sont isomorphes, alors détruire l'un des deux et rediriger ses arcs entrants vers le sous-graphe restant.

Un BDD est réduit si aucune des deux règles n'est applicable. La figure ci-contre montre un BDD qui n'est pas réduit. En appliquant les deux règles autant que possible, on tombe sur l'exemple ci-dessus, qui est réduit.

Un BDD est ordonné si toutes les variables apparaissent dans le même ordre sur tous les chemins depuis la racine vers les nœuds terminaux. Dans son usage courant, le terme diagramme de décision binaire se réfère généralement à un diagramme de décision binaire ordonné réduit (ROBDD pour Reduced Ordered Binary Decision Diagram).

L'avantage d'un ROBDD est qu'il est canonique (unique) pour une fonction booléenne donnée[3]. Cette propriété le rend utile, par exemple, pour la vérification d'équivalence fonctionnelle (qui se traduit par l'égalité des ROBDD associés, laquelle peut être évaluée en temps constant).

Le nombre de nœuds d'un ROBDD d'une fonction dépend de l'ordre de variables. Les deux figures suivantes montrent deux ROBDD pour la fonction ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{8})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+x_{5}x_{6}+x_{7}x_{8}}$ mais l'un a beaucoup de nœuds alors que l'autre en a peu.

ROBDD de la fonction ƒ(x1, ..., x8) = x1x2 + x3x4 + x5x6 + x7x8 avec un mauvais ordre de variables

ROBDD pour un bon ordre de variables

Toute fonction booléenne symétrique (c'est-à-dire dont la valeur ne dépend pas de l'ordre des variables, comme la fonction parité ou majorité) admet des ROBDD de taille ${\displaystyle O(n^{2})}$ où ${\displaystyle n}$ est le nombre de variables. C'est à mettre en exergue avec le fait que la fonction parité et la fonction majorité n'admet que des formes normales conjonctives ou des formes normales disjonctives de taille exponentielle[1].

Inversement, il existe des fonctions booléennes avec des petites FNC ou DNC mais avec des ROBDDs de taille exponentielle, pour tout ordre sur les variables[4], par exemple, la fonction hidden weighted bit, ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{x_{1}+\ldots +x_{n}}}$, avec ${\displaystyle x_{0}=0}$ par convention.

Le problème de savoir si un ordre sur les variables propositionnelles est optimal (i.e. donne le ROBDD le plus petit) est NP-dur[5] - [6].

La construction d'un ROBDD à partir d'une formule booléenne repose sur l'expansion de Shannon[7]. La négation s'obtient en échangeant les nœuds terminaux. On peut calculer la conjonction et la disjonction de deux ROBDDs qui ont le même ordre sur les variables.

Les diagrammes de décision binaires ont été étendus à des valeurs arbitraires dans une algèbre finie. La structure de donnée résultante s'appelle ADD pour Algebraic decision diagrams et a été introduite par Bahar et al. en 1993[8]. On note aussi les diagrammes de décision binaire multi-terminaux[9].

• Donald Knuth, The Art of Computer Programming, fascicule 1, vol. 4, 3, 2010

• (en) Edmund M. Clarke, Jr., « Model Checking - Binary Decision Diagrams » [PDF]
• Pravossoudovitch S., Représentation et Synthèse des Systèmes Logiques, Ch. 3, Graphes de décision binaire [PDF]