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Deuxième théorème de Minkowski

Le deuxième théorème de Minkowski est un résultat de géométrie des nombres sur les minima successifs d'un réseau, relativement à un convexe.

Minima successifs

Dans ℝn, soient Γ un réseau et K un convexe compact symétrique par rapport à l'origine et de volume non nul. Les n minima successifs λ1 ≤ λ2 ≤ … ≤ λn de Γ relativement à K sont définis par : λj est le plus petit réel λ pour lequel λK (la boule fermée de centre 0 et de rayon λ pour la norme égale à la jauge de K) contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.

Exemples
Par un changement de variables linéaire, on peut toujours se ramener au cas où le réseau Γ est ℤn. Alors, vol(ℝn/Γ) = 1 et :
  • pour K = [–1, 1]n (boule unité pour la norme ℓ∞), λ1 = … = λn = 1 et vol(K) = 2n ;
  • pour K = {x ∈ ℝn | ∑|xi| ≤ 1} (boule unité pour la norme ℓ1), λ1 = … = λn = 1 et vol(K) = 2n/n!.

Énoncé du théorème
[1].

La preuve de la première inégalité est « presque triviale[2] ». Certains auteurs[3] ne mentionnent que la seconde sous l'intitulé « Deuxième théorème de Minkowski ». Cette dernière renforce « le » (premier) théorème de Minkowski, selon lequel λ1n vol(K) ≤ 2n vol(ℝn/Γ).

Démonstration

La démonstration par Hermann Minkowski de la majoration, en 1896[4], « a longtemps été considérée comme assez obscure[5] », et de nombreuses preuves alternatives ont été publiées[6] - [7] - [8] - [9] - [10] - [11] - [12], jusqu'à ce que Martin Henk, en 2002[13], en résumant la preuve originale de Minkowski, montre qu'elle était « parfaitement correcte et élégante[5] ».

Notes et références
  1. Lagarias 1995, p. 930 ; Cassels 1957, p. 156 ; Cassels 1971, p. 203 et 218 ; Schmidt 1996, p. 6.
  2. Cassels 1971, p. 203 ; Cassels 1957, p. 156.
  3. Nathanson 1996, p. 181 et Siegel 1989, p. 32.
  4. (de) H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, (1re éd. 1896) (lire en ligne), p. 199-219.
  5. Gruber 2007, p. 376.
  6. (en) Harold Davenport, « Minkowski's inequality for the minima associated with a convex body », Q. J. Math., vol. 10,‎ , p. 119-121 (DOI 10.1093/qmath/os-10.1.119).
  7. (en) Hermann Weyl, « On geometry of numbers », Proc. London Math. Soc., 2e série, vol. 47,‎ , p. 268-289 (DOI 10.1112/plms/s2-47.1.268), repris dans Cassels 1971, p. 215-218.
  8. (en) Theodor Estermann, « Note on a theorem of Minkowski », J. London Math. Soc., vol. 21,‎ , p. 179-182.
  9. (en) R. P. Bambah (en), Alan Woods et Hans Zassenhaus, « Three proofs of Minkowski's second inequality in the geometry of numbers », J. Austral. Math. Soc., vol. 5, no 4,‎ , p. 453-462 (DOI 10.1017/S1446788700028482).
  10. (en) I. Danicic, « An elementary proof of Minkowski's second inequality », J. Austral. Math. Soc., vol. 10,‎ , p. 177-181 (DOI 10.1017/S1446788700007023).
  11. Gruber et Lekkerkerker 1987, p. 59-62.
  12. Siegel 1989, p. 39-40.
  13. (en) Martin Henk, « Successive Minima and Lattice Points », Rendi. Circ. Matematico Palermo, 2e série, vol. 70,‎ , p. 377-384 (arXiv math/0204158) (p. 382-384), repris dans Gruber 2007, p. 377-380.

Bibliographie
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