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Demi-groupe régulier

En mathématiques et notamment en algèbre, un demi-groupe régulier est un demi-groupe dans lequel tout élément est « régulier », non pas au sens usuel d'élément régulier c'est-à-dire simplifiable mais, par définition[1], au sens : il existe un élément tel que . Les demi-groupes réguliers sont parmi les classes les plus étudiées de demi-groupes ; leur structure se décrit bien au moyen des relations de Green.

Origines

Les demi-groupes réguliers ont été introduits par James Alexander Green dans son article fondamental « On the structure of semigroups » de 1951[2]. C'est également dans cet article que sont définies ce que l'on appelle maintenant les relations de Green. Le concept de régularité d'un demi-groupe est l'adaptation de la même notion pour les anneaux déjà considérée par John von Neumann[3]. Une note en bas de page de l'article de Green mentionne que la notion de régularité a été utilisée pour la première fois dans les demi-groupes par David Rees.

Définitions

Soit un demi-groupe.

  • Un élément de est un pseudo-inverse[4] d'un élément de si .
  • Un élément de est un inverse d'un élément a de si et .
    • Notons[5] que si est un pseudo-inverse de , alors est un inverse de puisque
      et
    • Notons aussi[6] que si est un inverse de , alors et sont des éléments idempotents de , puisque et de même pour .
  • Un élément de est régulier s'il possède au moins un inverse.
  • Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dont tous les éléments sont réguliers.
  • Un demi-groupe régulier dont tous les idempotents commutent est un demi-groupe inversif. Les demi-groupes inversifs sont aussi caractérisés par le fait que tous leurs éléments ont un inverse unique[7] - [8]. En revanche, l'unicité de l'inverse n'implique pas l'unicité du pseudo-inverse[9].

Exemples de demi-groupes réguliers

  • Un groupe.
  • Le demi-groupe bicyclique.
  • Le demi-groupe de toutes les fonctions partielles d'un ensemble . Pour une fonction , de domaine et d'image , on prend pour inverse tout fonction de domaine et d'image telle que . Si la fonction est injective, l'inverse est unique.
  • L'image homomorphe d'un demi-groupe régulier[10].

Relations de Green

Dans un demi-groupe , l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par un élément est l'ensemble , , respectivement, où est le monoïde obtenu en ajoutant un élément neutre à S s'il n'en possédait pas déjà un. Les relations de Green sont définies comme suit[11] :

si et seulement si ;
si et seulement si ;
si et seulement si .

Dans un demi groupe régulier , toute -classe et toute -classe contient au moins un idempotent. Si est un élément de et est un inverse de , alors et [12]. De plus si et seulement s'il existe un inverse de et un inverse de tels que [13].

Dans un demi-groupe inversif, l'idempotent de chaque -classe et -classe est unique[8].

Classes particulières de demi-groupes réguliers

Howie[14] mentionne les classes suivantes de demi-groupes réguliers :

  • demi-groupe localement inversif : c'est un demi-groupe régulier dans lequel eSe est un demi-groupe inversif pour tout idempotent e.
  • demi-groupe orthodoxe : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un sous-demi-groupe.
  • demi-groupe inversif généralisé : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un ruban (en) normal, c'est-à-dire vérifient xyzx = xzyx, pour tous idempotents x, y, z. On peut montrer[15] que la classe des demi-groupes inversifs généralisés est l'intersection des demi-groupes localement inversifs et des demi-groupes orthodoxes.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Regular semigroup » (voir la liste des auteurs).

Notes

  1. Howie 1995, p. 54
  2. Green 1951
  3. von Neumann 1936
  4. Kilp, Knauer et Mikhalev 2000, p. 33
  5. Clifford et Preston 1961, Lemma 1.14
  6. Clifford et Preston 1961, p. 26
  7. En effet, si S est un demi-groupe inversif et si b et c sont deux inverses de a, alors
    b=bab=b(aca)b=(bac)(aca)b=(ba)(ca)cab=(ca)(ba)cab=(ca)b(ac)(ab)=(ca)b(ab)(ac)=c(ababa)c=cac=c.
  8. Howie 1995, Theorem 5.1.1
  9. Bien au contraire : on peut prouver ((en) « a characterization of groups », sur PlanetMath) qu'un demi-groupe où tout élément possède un pseudo-inverse unique est en fait un groupe.
  10. Howie 1995, Lemma 2.4.4
  11. Howie 1995, p. 55
  12. Clifford et Preston 1961, Lemma 1.13
  13. Howie 1995, Proposition 2.4.1
  14. Howie 1995, Chap. 6 et Section 2.4
  15. Howie 1995, p. 222

Références

  • (en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, vol. I, Providence, R.I., AMS, coll. « Mathematical Surveys » (no 7),
  • (en) James A. Green, « On the structure of semigroups », Ann. Math., 2e série, vol. 54, , p. 163-172 (DOI 10.2307/1969317, JSTOR 1969317)
  • (en) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series » (no 12), , x+351 (ISBN 0-19-851194-9, MR 1455373)
  • (en) Mati Kilp, Ulrich Knauer et Alexander V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories : with Applications to Wreath Products and Graphs, Walter de Gruyter, coll. « De Gruyter Expositions in Mathematics » (no 29), , xviii+529 (ISBN 978-3-11-015248-7, lire en ligne)
  • (en) John von Neumann, « On Regular Rings », PNAS, vol. 22, no 12, , p. 707-713 (PMID 16577757, PMCID 1076849, DOI 10.1073/pnas.22.12.707, lire en ligne)

Article connexe

Classes particulières de demi-groupes (en)

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