Demi-groupe bicyclique

Il existe plusieurs méthodes de construction du demi-groupe bicyclique, et plusieurs notations pour le désigner. Lyapin le note ${\displaystyle P}$ ; Clifford et Preston emploient la notation ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ; les livres plus récents[4] tendent à utiliser ${\displaystyle B}$. C'est cette notation qui est adoptée ici.

Morphisme

Le demi-groupe bicyclique ${\displaystyle B}$ a la propriété suivante : l'image homomorphe ${\displaystyle f(B)}$ de ${\displaystyle B}$ dans un autre demi-groupe est soit une copie isomorphe de ${\displaystyle B}$, soit un groupe cyclique. En effet, les images ${\displaystyle f(p)}$ et ${\displaystyle f(q)}$ des générateurs de ${\displaystyle B}$ vérifient les trois premières des conditions données ci-dessus parce que ${\displaystyle f}$ est un morphisme. Si ${\displaystyle f(qp)\neq f(e)}$, alors l'image est bicyclique, et si ${\displaystyle f(qp)=f(e)}$, l'image est le groupe cyclique engendré par ${\displaystyle f(q)}$.

Idempotents

Les idempotents du demi-groupe bicyclique ${\displaystyle B}$ sont, dans la représentation par couples, les couples ${\displaystyle (a,a)}$, où ${\displaystyle a}$ est un entier naturel. Le demi-groupe ${\displaystyle B}$ est régulier (pour tout ${\displaystyle x}$, il existe ${\displaystyle y}$ tel que ${\displaystyle xyx=x}$). De plus, les idempotents commutent, et ${\displaystyle B}$ est donc un demi-groupe inversif. Ceci équivaut à dire que pour tout ${\displaystyle x}$, il existe un unique ${\displaystyle y}$ tel que ${\displaystyle xyx=x}$ et ${\displaystyle yxy=y}$.

Idéaux

Tout idéal de ${\displaystyle B}$ est principal: l'idéal à gauche et l'idéal à droite engendrés par ${\displaystyle (a,b)}$ sont respectivement

• ${\displaystyle B\,(a,b)=\{(c,d)\mid d\geq b\}}$
• ${\displaystyle (a,b)\,B=\{(c,d)\mid c\geq a\}}$

Chaque idéal principal en contient une infinité d'autres, donc ${\displaystyle B}$ n'a pas d'idéal à gauche ou à droite minimal.

Relations de Green

En ce qui concerne les relations de Green, les propriétés sont les suivantes : Le demi-groupe bicyclique ${\displaystyle B}$ est composé d'une seule ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-classe (il est appelé bi-simple) et donc est une seule ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$-classe. Les relations ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ sont données par

• ${\displaystyle (a,b){\mathcal {R}}(c,d)}$ si et seulement si ${\displaystyle a=c}$ ;
• ${\displaystyle (a,b){\mathcal {L}}(c,d)}$ si et seulement si ${\displaystyle b=d}$[8].

Il en résulte que deux éléments sont ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-équivalents si et seulement s'ils sont égaux. Les sous-groupes de ${\displaystyle B}$ sont donc tous triviaux, chacun correspondant à un idempotent.

Le diagramme en « boîte à œufs » des relations de Green pour ${\displaystyle B}$ est un rectangle infini dans les deux directions. Son coin supérieur gauche est le suivant :

Chaque entrée représente une ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-classe, les lignes sont les ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-classes et les colonnes les ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-classes. Les idempotents de B sont sur les éléments sur la diagonale. Ceci illustre la propriété d'un demi-groupe régulier de contenir exactement un idempotent par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-classe et par ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-classe.

Le monoïde bicyclique intervient en combinatoire et en théorie des langages, comme monoïde syntaxique du langage de Dyck sur une paire de parenthèses. Plus précisément, le langage de Dyck est l'image homomorphe inverse de l'élément neutre du monoïde bicyclique, puisque c'est l'ensemble des mots qui se réduisent au mot vide par la relation ${\displaystyle pq=1}$. Le langage de Dyck, et donc aussi le monoïde bicyclique, est lié aux arbres binaires et aux algèbres associatives.