Développable des tangentes

Tout point M(u,0) de la courbe est un point non régulier de la surface. En effet, ${\displaystyle {\frac {\partial M(u,0)}{\partial u}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {\partial M(u,0)}{\partial t}}}$ sont des vecteurs colinéaires. Réciproquement, si la courbe est birégulière, tout point non régulier pour la surface est nécessairement un point de la courbe.

Étant donné une surface réglée développable, est-elle la développable des tangentes d'une courbe de l'espace ? La réponse est négative, puisque les cônes et les cylindres ne sont pas des développables des tangentes à une courbe. Mais l'on peut établir que toute surface développable est constituée de parties de cônes, de cylindres, et de tangentes à des courbes gauches, qui se recollent le long d'une génératrice avec un même plan tangent[3].

En généralisant la définition pour inclure les cônes comme développable des tangents à un courbe réduite à un point, et les cylindres comme développable des tangentes d'un courbe réduite à un point à l'infini, toute surface développable est localement la développable des tangentes à l'enveloppe de ses génératrices. Cette courbe s'appelle l'arête de rebroussement de la surface, et les plans tangents à la surface sont les plans osculateurs à l'arête de rebroussement[4].