Dérivée arithmétique

Il existe sur l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle \mathbb {N} }$ une application unique notée ${\displaystyle n\mapsto n'}$ et appelée dérivée arithmétique, telle que

• ${\displaystyle p'=1}$ pour tous les nombres premiers ${\displaystyle p}$.
• ${\displaystyle (ab)'=a'b\,+\,ab'}$ pour tous ${\displaystyle a{\textrm {,}}\,b\in \mathbb {N} }$ (règle de Leibniz).

On déduit facilement de la règle du produit[1] que ${\displaystyle 0'=1'=0}$ ; plus généralement, si on pose

${\displaystyle x=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}}{\textrm {,}}}$

(où ${\displaystyle p_{1},\,\dots ,\,p_{k}}$ sont des nombres premiers distincts et ${\displaystyle e_{1},\,\dots ,\,e_{k}}$ des entiers), on obtient[2]

${\displaystyle x'=\sum _{i=1}^{k}e_{i}p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{i}^{e_{i}-1}\cdots p_{k}^{e_{k}}=x\sum _{i=1}^{k}{\frac {e_{i}}{p_{i}}}.}$

La dérivée arithmétique vérifie également la formule usuelle pour les puissances (entières) :

${\displaystyle (x^{n})'=nx'x^{n-1}}$, et en particulier pour p premier ${\displaystyle (p^{n})'=np^{n-1}{\textrm {.}}}$

La suite des dérivées arithmétiques des entiers k = 0, 1, 2, ... commence par :

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ... (c'est la suite A003415 de l'OEIS).

E.J. Barbeau fut le premier à formaliser cette définition[3], qu'il étendit à tous les entiers en montrant qu'elle entraîne ${\displaystyle (-x)'=-x'}$ ; il montra également que la formule précédente s'étend aux rationnels en admettant des exposants négatifs. Victor Ufnarovski et Bo Åhlander l'étendirent encore à certains irrationnels, en acceptant des exposants rationnels arbitraires.

Alexandru Buium et Michael Stay ont généralisé la dérivation arithmétique à d'autres objets classiques du calcul différentiel ; ils définissent par exemple la notion de dérivée arithmétique partielle (par rapport à un nombre premier p) en posant "dx/dp" = ${\displaystyle (x-x^{p})/p}$ (qui est un entier d'après le petit théorème de Fermat).

Victor Ufnarovski et Bo Åhlander ont montré que cette fonction permet d'exprimer simplement diverses conjectures liées à de célèbres questions ouvertes en théorie des nombres, telle que la conjecture des nombres premiers jumeaux, ou la conjecture de Goldbach. Par exemple, la conjecture de Goldbach entraîne l'existence, pour chaque k > 1, d'un n tel que n' = 2k. L'existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux entraîne qu'il existe une infinité de k pour lesquels k'' = 1.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arithmetic derivative » (voir la liste des auteurs).

• (en) E. J. Barbeau, Remark on an arithmetic derivative, Canadian Mathematical Bulletin, Vol. 4 (1961), pp. 117–122.
• (en) Victor Ufnarovski et Bo Åhlander, How to Differentiate a Number, Journal of Integer Sequences Vol. 6 (2003), Article 03.3.4.
• (en) « Arithmetic Derivative », sur PlanetMath
• (en) Linda Westrick, Investigations of the Number Derivative.
• (en) Ivars Peterson (en), Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• (en) Michael Stay, Generalized Number Derivatives.
• (en) Alexandru Buium, Arithmetic analogues of derivations. J. Algebra 198 (1997), no. 1, 290-299.