Critère d'irréductibilité de Cohn

Si un nombre premier p s'écrit en base dix sous la forme

${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq 9}$

alors le polynôme

${\displaystyle a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}}$

est irréductible dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$.

Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier b ≥ 2, un polynôme de la forme${\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq b-1}$est irréductible dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ dès que P(b) est premier.

La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn[1] – un étudiant d'Issai Schur[2] – par Pólya et Szegő[3] et sa généralisation à une base quelconque b ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko[4].

En 2002, M. Ram Murty a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème[5], démontrant également la variante suivante : Soit ${\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} _{m}[X]}$ et ${\displaystyle H=\max _{0\leq i<m}|a_{i}/a_{m}|}$. S'il existe un entier b ≥ H + 2 tel que P(b) est premier, alors P est irréductible sur ℤ.

• Critère d'Eisenstein
• Conjecture de Bouniakovski