Convergence en mesure
En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, la convergence en mesure est une notion de convergence de suite de fonctions mesurables qui généralise la notion de convergence en probabilité.
Définition
Soit un espace mesuré et un espace métrique séparable. Soit des fonctions mesurables. On dit que converge en mesure vers si pour tout
.
Lorsque est une mesure de probabilité et que est l'espace des nombres réels muni de la distance euclidienne, on retrouve la définition de la convergence en probabilité de variables aléatoires réelles.
Propriétés
- Si est une mesure finie, autrement dit, si , alors la convergence presque partout entraîne la convergence en mesure[1].
- De manière générale, si converge en mesure vers alors il existe une sous suite qui converge presque partout vers [1].
- Si est l'espace des nombres réels muni de la distance euclidienne alors, pour tout , la convergence pour la norme implique la convergence en mesure[1].
- Pour tout mesurables, posons (avec la convention ). Posons aussi (avec la convention ). Alors est une distance. La convergence en mesure est équivalente à la convergence pour la distance . De plus si l'espace est complet alors l'espace des fonctions mesurables de dans muni de la distance est complet aussi[1].
Références
- A Giroux, « Mesure et intégration », , p. 79
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