Constante de Gauss

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)}$

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

${\displaystyle G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}}$

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })}$.

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}}$.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)}$.

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][N 3].