Moyenne arithmético-géométrique

Étant donné deux réels positifs ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, on définit deux suites positives ${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$, de premiers termes ${\displaystyle u_{0}=a}$, ${\displaystyle v_{0}=b}$ et satisfaisant les relations de récurrence :

${\displaystyle u_{n+1}={\sqrt {u_{n}v_{n}}}}$

${\displaystyle v_{n+1}={\frac {u_{n}+v_{n}}{2}}}$.

Les deux suites ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 1}}$ et ${\displaystyle (v_{n})_{n\geq 1}}$ sont adjacentes[1] : ${\displaystyle v_{n}\geq u_{n}}$ pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$ (car ${\displaystyle v_{n+1}-u_{n+1}={\frac {({\sqrt {v_{n}}}-{\sqrt {u_{n}}})^{2}}{2}}}$), si bien que ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 1}}$ est croissante (${\displaystyle u_{n+1}\geq u_{n}}$), ${\displaystyle (v_{n})_{n\geq 1}}$ est décroissante (${\displaystyle v_{n+1}\leq v_{n}}$), et
${\displaystyle 0\leq v_{n+1}-u_{n+1}\leq v_{n+1}-u_{n}={\frac {v_{n}-u_{n}}{2}}}$ donc ${\displaystyle v_{n}-u_{n}\to 0}$. D'après le théorème des suites adjacentes, ${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ ont donc une limite commune, ${\displaystyle M(a,b)}$, appelée la moyenne arithmético-géométrique de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$.

Étant donné deux réels positifs ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, on montre que :

• ${\displaystyle M(a,b)=M\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)}$ ;
• par conséquent, ${\displaystyle M(a,b)=M(b,a)}$ ;
• il ressort directement de la définition que pour ${\displaystyle t\geq 0}$, ${\displaystyle M(ta,tb)=tM(a,b)}$. Cette propriété, jointe à la précédente, signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennes[2]) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ ;
• ${\displaystyle \min(a,b)\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}{2}}\leq \max(a,b)}$, l'égalité n'intervenant que lorsque ${\displaystyle a=b}$.

Supposons ${\displaystyle 0<b\leq a}$ et posons ${\displaystyle c_{n}:=v_{n}-u_{n}}$.

Il résulte de la majoration : ${\displaystyle c_{n+1}={\frac {(v_{n}-u_{n})^{2}}{2({\sqrt {v_{n}}}+{\sqrt {u_{n}}})^{2}}}\leq {\frac {c_{n}^{2}}{8b}}}$ que ce processus est à convergence quadratique[1].

Gauss a établi[1] une relation entre ${\displaystyle M(a,b)}$ et une intégrale elliptique de première espèce :

${\displaystyle {\begin{aligned}M(a,b)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {a+b}{K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}\end{aligned}}}$

où K(k) est l'intégrale elliptique de première espèce :

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$

Il a montré en effet que l'intégrale ${\displaystyle I(a,b)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$ vérifiait aussi la relation ${\displaystyle I(a,b)=I\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)}$. Par conséquent, on a, par récurrence sur n, ${\displaystyle I(a,b)=I(u_{n},v_{n})}$, où u_n et v_n sont les deux suites arithmético-géométriques associées à a et b. Puis, par passage à la limite, ${\displaystyle I(a,b)=I(M(a,b),M(a,b))={\frac {\pi }{2M(a,b)}}}$.

La relation de Gauss et la rapidité de la convergence des deux suites arithmético-géométriques vers la moyenne ${\displaystyle M(a,b)}$ donne un moyen rapide de calcul numérique approché précis de la valeur de l'intégrale elliptique ${\displaystyle I(a,b)}$.

La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse. Analysant les relations entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques de 1^re espèce, Gauss, dans ses Cahiers mathématiques attira l'attention[3] sur la relation (donnant la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli) : ${\displaystyle {\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$.