Constante de De Bruijn-Newman

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique définie par les zéros d'une certaine fonction H(λ,z), où λ est un paramètre réel et z est une variable complexe : H(λ,z) n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.

Depuis 2020, il est démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,2.

La constante est intimement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta de Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante : Λ ≤ 0. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors Λ = 0.

Expressions analytiques particulières de H

H(λ,z) est la transformée de Fourier de exp(λx²)Φ(x) :

H(\lambda ,z)=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\ du

où $\Phi$ est la fonction rapidement décroissante :

\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})\exp(-\pi n^{2}e^{4u})

H(0,x) = ξ(1/2+ix), où ξ désigne la fonction xi de Riemann

\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)

H a la représentation de Wiener-Hopf :
- pour λ ≥ 0, $\xi (1/2+{\rm {i}}z)=A{\frac {\sqrt {\pi }}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{-(x-z)^{2}/(4\lambda )}H(\lambda ,x){\rm {d}}x$
- pour λ < 0,

H(z,\lambda )={\frac {B{\sqrt {\pi }}}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}\right)\xi (1/2+ix)\,dx,

avec

{\textstyle z\in \mathbb {C} }

{\textstyle \lambda \in \mathbb {R} }

où A et B sont des constantes réelles.

Recherche et approximation de Λ

Majorant

Nicolaas Govert de Bruijn en 1950 a montré que Λ ≤ 1/2.

Cette borne supérieure n'a pas été améliorée jusqu'en 2008, quand Ki, Kim et Lee ont démontré que Λ < 1/2, rendant l'inégalité stricte[1].

En 2018, le 15^e projet Polymath a démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,22[2]. En 2020, la borne supérieure a été réduite à 0,2 par Platt et Trudgian[3].

Minorant

Charles Michael Newman (en) a conjecturé que 0 ≤ Λ.

D'imposants calculs sur Λ ont été faits depuis 1987 et sont encore menés à l'heure actuelle :

Années	Minorant de Λ
1987[4]	–50
1990[5]	–5
1992[6]	–0,385
1994[7]	−4,379 e–⁶
1993[8]	−5,895 e–⁹
2000[9]	−2,7 e–⁹
2011[10]	−1,145 41 × 10⁻¹¹
2018[11] - [12]	0

La démonstration en janvier 2018 que 0 ≤ Λ confirme donc la conjecture de Newman.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « De Bruijn–Newman constant » (voir la liste des auteurs).

(en) Haseo Ki, Young-One Kim et Jungseob Lee, « On the de Bruijn–Newman constant », Advances in Mathematics, vol. 222, n^o 1,‎ septembre 2009, p. 281–306 (DOI 10.1016/j.aim.2009.04.003, MR MR2531375, lire en ligne).
(en) D.H.J. Polymath, « Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann ξ function, and a new upper bound for the de Bruijn-Newman constant », Research in the Mathematical Sciences, vol. 6, n^o 3,‎ septembre 2019 (DOI 10.1007/s40687-019-0193-1).
Dave Platt et Tim Trudgian, « The Riemann hypothesis is true up to 3·1012 », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 53, n^o 3,‎ 2021, p. 792–797 (DOI 10.1112/blms.12460, arXiv 2004.09765, S2CID 234355998)(preprint)
(en) George Csordas, T. S. Norfolk et Richard S. Varga, « A low bound for the de Bruijn-newman constant Λ », Numerische Mathematik, vol. 52, n^o 5,‎ septembre 1987, p. 483–497 (DOI 10.1007/BF01400887).
(en) Herman te Riele, A new lower bound for the de Bruijn-Newman constant, vol. 58, décembre 1990, 661–667 p. (DOI 10.1007/BF01385647), chap. 1.
(en) T. S. Norfolk, A. Ruttan et Richard S. Varga, « A Lower Bound for the de Bruijn-Newman Constant Λ. II », dans Andrey Aleksandrovich Gonchar (en) (dir.) et Edward B. Saff (en) (dir.), Progress in Approximation Theory, New York, Springer, coll. « Springer Series in Computational Mathematics » (n^o 19),‎ 1992 (DOI 10.1007/978-1-4612-2966-7_17), p. 403–418.
(en) George Csordas, Wayne Smith et Richard S. Varga, « Lehmer pairs of zeros, the de Bruijn-Newman constant Λ, and the Riemann Hypothesis », Constructive Approximation (en), vol. 10, n^o 1,‎ mars 1994, p. 107–129 (DOI 10.1007/BF01205170).
(en) George Csordas, Andrew Odlyzko, Wayne Smith et Richard S. Varga, « A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn-Newman constant Λ », Electronic Transactions on Numerical Analysis, vol. 1,‎ décembre 1993, p. 104–111 (lire en ligne).
(en) Andrew Odlyzko, « An improved bound for the de Bruijn-Newman constant », Numerical Algorithms, vol. 25,‎ septembre 2000, p. 293–303 (DOI 10.1023/A:1016677511798, lire en ligne).
(en) Yannick Saouter, Xavier Gourdon et Patrick Demichel, « An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant », Mathematics of Computation, vol. 80, n^o 276,‎ 2011, p. 2281–2287 (DOI 10.1090/S0025-5718-2011-02472-5, MR 2813360).
(en) Brad Rodgers et Terence Tao, « The De Bruijn–Newman constant is non-negative », 18 janvier 2018 (arXiv 1801.05914).
(en) Terence Tao, « The De Bruijn-Newman constant is non-negative », blog de Terence Tao, 19 janvier 2018.

(en) N. G. de Bruijn, « The roots of trigonometric integrals », Duke Mathematical Journal, vol. 17, n^o 3,‎ septembre 1950, p. 197–226 (DOI 10.1215/S0012-7094-50-01720-0, MR 0037351, lire en ligne).
(en) C. M. Newman, « Fourier transforms with only real zeros », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 61, n^o 2,‎ décembre 1976, p. 245–251 (DOI 10.1090/S0002-9939-1976-0434982-5, MR 0434982).

Voir aussi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « de Bruijn–Newman Constant », sur MathWorld

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