Conjecture de Poincaré

La question fut posée pour la première fois par Henri Poincaré dans son article de 1904, « Cinquième complément à l'analysis situs », et peut s'énoncer aujourd'hui ainsi :

Toute 3-variété compacte sans bord et simplement connexe est-elle homéomorphe à la 3-sphère ?

Dans sa formulation originale de 1904 : « Est-il possible que le groupe fondamental de V se réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe ? »[3] (la terminologie signifiant aujourd'hui « ne soit pas une sphère »[4])

Poincaré ajouta en conclusion, avec beaucoup de clairvoyance : « mais cette question nous entraînerait trop loin ».

Plus vulgairement, il s'agit de déterminer si « un objet à trois dimensions » donné possédant les mêmes propriétés que celles d'une sphère 3D (dont notamment toutes les boucles peuvent être « resserrées » en un point) est bien seulement une déformation d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire — surface dans l'espace ordinaire — possède seulement deux dimensions).

Aucune 3-variété sans bord autre que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (l'espace ordinaire, non compact) ne peut être dessinée proprement comme objet dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

Vers la fin de l'année 2002, des publications sur arXiv[5] - [6] - [7] de Grigori Perelman, de l'Institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg, laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la « conjecture de géométrisation » (voir ci-dessous), mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard S. Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Perelman en 2003 résolvait ce problème[8] - [9] - [10], près d'un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international des mathématiciens le 22 août 2006 à Madrid au cours duquel la médaille Fields lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille, et laissé entendre qu'il refuserait également le prix Clay. Ce prix lui a été décerné le 18 mars 2010[11] - [12], prix accompagné d'une récompense d'un million de dollars, et il l'a effectivement refusé. D'après Aleksandr Zabrovsky, qui prétend avoir obtenu de lui une interview, il aurait déclaré au journal Komsomolskaïa Pravda le 29 avril 2011 :

« Pourquoi ai-je mis tant d'années pour résoudre la conjecture de Poincaré ? J'ai appris à détecter les vides. Avec mes collègues, nous étudions les mécanismes visant à combler les vides sociaux et économiques. Les vides sont partout. On peut les détecter et cela donne beaucoup de possibilités… Je sais comment diriger l'Univers. Dites-moi alors, à quoi bon courir après un million de dollars ? »

Mais cette affirmation de Zabrovsky est controversée, plusieurs journalistes niant l'authenticité de cette interview[13] - [14] - [15].

• Voyages au pays des maths

• Henri Poincaré, « Cinquième complément à l'analysis situs », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 18,‎ 1904, p. 45–110 (DOI 10.1007/bf03014091, lire en ligne)
• John Milnor, « Vers la conjecture de Poincaré et la classification des variétés de dimension 3 », Gazette des mathématiciens, vol. 99,‎ 2004, p. 13-25 (lire en ligne)
• Gérard Besson, « Preuve de la conjecture de Poincaré en déformant la métrique par la courbure de Ricci », Séminaire Bourbaki, t. 47,‎ 2004-2005, p. 309-348 (lire en ligne)

• Patrick Massot, « La conjecture de Poincaré », sur Images des mathématiques, 2012
• « Groupe de travail sur les travaux de Perelman », sur Institut Fourier
• [vidéo] ARTE, La conjecture de Poincaré sur YouTube