Concentration de mesure

Soit ${\displaystyle (X,d,\mu )}$ un espace métrique muni d'une mesure ${\displaystyle \mu }$ sur la tribu borélienne, telle que ${\displaystyle \mu (X)=1}$. Soit

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (X\setminus A_{\epsilon })\,|\,\mu (A)\geq 1/2\right\},}$

où

${\displaystyle A_{\epsilon }=\left\{x\,|\,d(x,A)<\epsilon \right\}}$

est l'${\displaystyle \epsilon }$-extension d'un ensemble ${\displaystyle A}$.

La fonction ${\displaystyle \alpha (\cdot )}$ est appelée le taux de concentration de l'espace ${\displaystyle X}$. La définition équivalente suivante a de nombreuses applications :

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq \mathop {M} +\epsilon \})\right\},}$

où le supremum est sur tous les fonctions 1-lipschitzienne ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$, et la médiane (ou moyenne Levy) ${\displaystyle M=\mathop {\mathrm {Med} } F}$ est définie par les inégalités

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

Informellement, l'espace ${\displaystyle X}$ présente un phénomène de concentration si ${\displaystyle \alpha (\epsilon )}$ diminue très vite quand ${\displaystyle \epsilon }$ grandit. Plus formellement, une famille d'espaces métriques mesurés ${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$ est appelée famille Lévy si les taux de concentrations correspondants ${\displaystyle \alpha _{n}}$ satisfont :

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\to 0{\rm {\;lorsque\;}}n\to \infty ,}$

et une famille Lévy normale s'il existe des constantes ${\displaystyle c,C>0}$ telles que :

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\leq C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$.

Voir ci-dessous pour des exemples

Le premier exemple remonte à Paul Lévy. D'après le théorème isopérimétrique sphérique, parmi tous les sous-ensembles ${\displaystyle A}$ de la sphère ${\displaystyle S^{n}}$ munis de la mesure sphérique prescrite ${\displaystyle \sigma _{n}(A)}$, la calotte sphérique

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}|\mathrm {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

pour un ${\displaystyle R}$ approprié, a la plus petite ${\displaystyle \epsilon }$-extension ${\displaystyle A_{\epsilon }}$ (pour tout ${\displaystyle \epsilon >0}$).

En appliquant ceci à des ensembles de mesure ${\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$ (où ${\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$), on peut déduire l'inégalité de concentration suivante :

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\epsilon })\geq 1-C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$,

où ${\displaystyle C,c}$ sont des constantes universelles, en pratique ${\displaystyle C=1,c=1/2}$ sont également valables mais sont non-optimales. Par conséquent, ${\displaystyle (S^{n})_{n}}$correspondent à la définition ci-dessus de la famille Lévy normale.

Vitali Milman a appliqué ce fait à plusieurs problèmes dans la théorie locale des espaces de Banach, en particulier, afin d'établir une nouvelle preuve du théorème de Dvoretzky.

Ce résultat est contre intuitif car il implique que si vous vous tenez à la surface d'une sphère de dimension n et de rayon ${\displaystyle 1}$ alors la quasi-totalité de sa surface est à une distance ${\displaystyle \pi /2}$ de vous. Ce résultat est contre intuitif car notre intuition n'est confronté qu'au sphère de dimension 0 (2 points), 1 (un cercle) et 2 (un balle de ping-pong) et que cet effet est peu marqué pour d'aussi petite dimension (voir tableau. On rappelle que tous les points de ${\displaystyle S^{n}}$ sont à une distance inférieur à ${\displaystyle \pi }$ de vous).

dimension	proportion de la surface de ${\displaystyle S^{n}}$ à plus d'une distance ${\displaystyle \pi /4}$ de vous
0	${\displaystyle 1/2}$ = 0.5
1	${\displaystyle 3/4}$ = 0.75
2	${\displaystyle {\frac {18-\pi }{16}}}$${\displaystyle \approx }$0.9286
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
20	${\displaystyle \geq 1-\exp \left(-{\frac {20(\pi /4)^{2}}{2}}\right)\approx }$0.998
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100	${\displaystyle \geq 1-\exp \left(-{\frac {100(\pi /4)^{2}}{2}}\right)\approx }$0.9999998

• Inégalité de concentration de Talagrand's
• Inégalité isopérimétrique Gaussienne

• (en) Michel Ledoux, The Concentration of Measure Phenomenon, Providence (R.I.), American Mathematical Society, 2001, 181 p. (ISBN 0-8218-2864-9)
• A. A. Giannopoulos et V. Milman, la Concentration de la propriété sur la probabilité des espaces, des Progrès dans les Mathématiques 156 (2000), 77-106.