Commande vectorielle

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi _{a}\\\Phi _{b}\\\Phi _{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}L&M&M\\M&L&M\\M&M&L\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}\\i_{b}\\i_{c}\end{bmatrix}}+\Phi _{f}{\begin{bmatrix}\cos(p\theta )\\\cos(p\theta -{\frac {2\pi }{3}})\\\cos(p\theta +{\frac {2\pi }{3}})\end{bmatrix}}}$

Où L est l'inductance propre, M est l'inductance mutuelle et ${\displaystyle \Phi _{f}}$ est le flux au stator.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{a}\\v_{b}\\v_{c}\end{bmatrix}}=R_{s}{\begin{bmatrix}i_{a}\\i_{b}\\i_{c}\end{bmatrix}}+{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\Phi _{a}\\\Phi _{b}\\\Phi _{c}\end{bmatrix}}}$

Soit une machine synchrone avec un aimant permanent à pôles saillants : ${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{a}\\v_{b}\\v_{c}\end{bmatrix}}=R_{s}{\begin{bmatrix}i_{a}\\i_{b}\\i_{c}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}L&M&M\\M&L&M\\M&M&L\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {di_{a}}{dt}}\\{\frac {di_{b}}{dt}}\\{\frac {di_{c}}{dt}}\end{bmatrix}}+{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(p\theta )\\\cos(p\theta -{\frac {2\pi }{3}})\\\cos(p\theta +{\frac {2\pi }{3}})\end{bmatrix}}\Phi _{f}+{\begin{bmatrix}L_{s}cos(2\theta )&L_{s}cos(2(\theta +{\frac {2\pi }{3}}))&L_{s}cos(2(\theta -{\frac {2\pi }{3}}))\\L_{s}cos(2(\theta +{\frac {2\pi }{3}}))&L_{s}cos(2(\theta -{\frac {2\pi }{3}}))&L_{s}cos(2\theta )\\L_{s}cos(2(\theta -{\frac {2\pi }{3}}))&L_{s}cos(2\theta )&L_{s}cos(2(\theta +{\frac {2\pi }{3}}))\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {di_{a}}{dt}}\\{\frac {di_{b}}{dt}}\\{\frac {di_{c}}{dt}}\end{bmatrix}}}$

En appliquant la transformée de Park, on obtient :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{o}\\v_{d}\\v_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R+{\frac {dL_{0}}{dt}}&0&0\\0&R+{\frac {dL_{d}}{dt}}&-L_{q}{\frac {d\theta }{dt}}\\0&L_{d}{\frac {d\theta }{dt}}&R+{\frac {dL_{q}}{dt}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{o}\\i_{d}\\i_{q}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {d\Phi _{f}}{dt}}\\0\end{bmatrix}}}$

Avec ${\displaystyle L_{o}=L+2M}$, ${\displaystyle L_{d}=L-M+{\frac {3}{2}}L_{s}}$ et ${\displaystyle L_{q}=L-M-{\frac {3}{2}}L_{s}}$

Ou : ${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{o}\\v_{d}\\v_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R&0&0\\0&R&0\\0&0&R\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{o}\\i_{d}\\i_{q}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {d}{dt}}&0&0\\0&{\frac {d}{dt}}&-{\frac {d\theta }{dt}}\\0&{\frac {d\theta }{dt}}&{\frac {d}{dt}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}L_{o}\cdot i_{o}\\L_{d}\cdot i_{d}+\phi _{f}\\L_{q}\cdot i_{q}\end{bmatrix}}}$

On pose : ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi _{o}\\\Phi _{d}\\\Phi _{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}L_{o}\cdot i_{o}\\L_{d}\cdot i_{d}+\phi _{f}\\L_{q}\cdot i_{q}\end{bmatrix}}}$

En reprenant l'expression générale du couple :

${\displaystyle C_{e}=p(\phi _{d}\cdot i_{q}-\phi _{q}\cdot i_{d})C_{e}=p((L_{d}\cdot i_{d}+\phi _{f})i_{q}-L_{q}\cdot i_{q}\cdot i_{d})C_{e}=p(\phi _{f}\cdot i_{q}+(L_{d}-L_{q})i_{q}i_{d})}$

Dans le cas où la saillance est nulle, c'est-à-dire que le rotor est invariant par rotation, on obtient ${\displaystyle L_{d}=L_{q}}$. Le couple devient alors ${\displaystyle C_{e}=p\phi _{f}\cdot i_{q}}$.

En pratique ${\displaystyle L_{q}>L_{d}}$, il faut donc maintenir ${\displaystyle i_{d}}$ égal à zéro pour obtenir le couple maximal.

Pour une machine asynchrone, on a un système d'équations pour le rotor et pour le stator. On note les grandeurs liées au stator avec un _s et celles liées au rotor d'un _r.

${\displaystyle [V_{sabc}]=R[i_{sabc}]+{\frac {d[\phi _{sabc}]}{dt}}}$

${\displaystyle [V_{rabc}]=R[i_{rabc}]+{\frac {d[\phi _{rabc}]}{dt}}}$

Dans le cas d'une machine asynchrone en cage d'écureuil, le rotor est en court-circuit, donc : ${\displaystyle [V_{rabc}]=0}$.

En remplaçant les flux par leur version en courant on obtient :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{s}\\v_{r}\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}i_{s}\\i_{r}\end{bmatrix}}+{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}L_{s}&M_{sr}\\M_{sr}&L_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{r}\\i_{s}\end{bmatrix}}}$

Où :

${\displaystyle [L_{s}]={\begin{bmatrix}L_{s}&M&M\\M&L_{s}&M\\M&M&L_{s}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle [L_{r}]={\begin{bmatrix}L_{r}&M&M\\M&L_{r}&M\\M&M&L_{r}\end{bmatrix}}}$

Et :

${\displaystyle [M_{sr}]={\begin{bmatrix}cos(\theta )&cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})&cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})\\cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&cos(\theta )&cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})&cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&cos(\theta )\\\end{bmatrix}}}$

Après transformation de Park, le système prend la forme suivante :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{sd}\\v_{sq}\\v_{rd}\\v_{rq}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{s}\\R_{s}\\R_{r}\\R_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{sd}\\i_{sq}\\i_{rd}\\i_{rq}\end{bmatrix}}+{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\phi _{sd}\\\phi _{sq}\\\phi _{rd}\\\phi _{rq}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\omega _{s}\phi _{sq}\\\omega _{s}\phi _{sd}\\\omega _{r}\phi _{rq}\\\omega _{r}\phi _{rd}\end{bmatrix}}}$

Où : ${\displaystyle \phi _{sd}=L_{s}i_{sd}+Mi_{rd}}$, ${\displaystyle \phi _{sq}=L_{s}i_{sq}+Mi_{rq}}$, ${\displaystyle \phi _{rd}=L_{r}i_{rd}+Mi_{sd}}$. On choisit arbitrairement la référence d’angle de Park au rotor pour avoir ${\displaystyle \phi _{rq}=0}$.

Au rotor, les équations sont alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{rd}=R_{r}\cdot i_{rd}+{\frac {d\phi _{rd}}{dt}}=0\\V_{rq}=R_{r}\cdot i_{rq}+\omega _{r}\phi _{rd}=0\end{aligned}}}$

Avec ${\displaystyle \omega _{r}}$ la vitesse électrique de rotation du rotor.

On remplace le courant rotorique par une relation renvoyant au stator, en utilisant ${\displaystyle i_{rd}={\frac {1}{L_{r}}}(\phi _{rd}-M\cdot i_{sd})}$ et ${\displaystyle i_{rq}={\frac {M\cdot i_{sq}}{L_{r}}}}$. Il vient :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{r}}{L_{r}}}(\phi _{rd}-M\cdot i_{sd})+{\frac {d\phi _{rd}}{dt}}=0\\{\frac {R_{r}}{L_{r}}}\cdot M\cdot i_{sq}+\omega _{r}\phi _{rd}=0\end{aligned}}}$

On pose ${\displaystyle \tau _{r}={\frac {L_{r}}{R_{r}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{r}{\frac {d\phi _{rd}}{dt}}+\phi _{rd}=Mi_{sd}\\\omega _{r}\tau _{r}\phi _{rd}=Mi_{sq}\end{aligned}}}$

Le flux ${\displaystyle \phi _{rd}}$ est donc réglé par ${\displaystyle i_{sd}}$, par convention ${\displaystyle \phi _{rq}=0}$, la pulsation ${\displaystyle \omega _{r}}$ est réglée par ${\displaystyle i_{sq}}$.

Pour le couple, on a :

${\displaystyle C_{e}=p(\phi _{sd}\cdot i_{sq}-\phi _{sq}\cdot i_{sd})}$

En éliminant les courants rotoriques des expressions des flux statoriques, et avec le coefficient de couplage défini par ${\displaystyle \sigma =1-{\frac {M^{2}}{L_{r}L_{s}}}}$, on a : ${\displaystyle \phi _{sd}=\sigma L_{s}i_{sd}+{\frac {M}{L_{r}}}\phi _{rd}}$ et ${\displaystyle \phi _{sq}=\sigma L_{s}i_{sq}}$. On obtient alors :

${\displaystyle C_{e}=p{\frac {M}{L_{r}}}\phi _{rd}i_{sq}}$

Pour conclure, la commande vectorielle de la machine asynchrone fonctionne comme ceci :

• On fixe le flux ${\displaystyle \phi _{rd}}$ à une valeur constante (nominale) à l’aide de ${\displaystyle i_{sd}}$.
• On gère le couple grâce à ${\displaystyle i_{sq}}$.
• La vitesse de rotation est fixée grâce à la mesure de ${\displaystyle \omega }$ et par l'estimation de ${\displaystyle \omega _{r}}$ grâce à la relation ${\displaystyle \omega _{r}={\frac {Mi_{sq}}{\tau _{r}\phi _{rd}}}}$.