Transformée de Clarke

Une composante homopolaire ${\displaystyle x_{0}}$ est rajoutée afin de prendre en compte un système déséquilibré. La composante homopolaire est la somme des trois grandeurs divisée par trois dans la théorie des composants symétriques ${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{3}}(x_{a}+x_{b}+x_{c})}$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{a}\\x_{b}\\x_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\alpha }\\x_{\beta }\\x_{0}\end{bmatrix}}}$

Associée à la transformée de Park, permettant de représenter le système triphasé dans un repère tournant, la transformation Park-Clark devient :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{d}\\x_{q}\end{bmatrix}}={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}cos(\theta )&cos(\theta -{\frac {2.\pi }{3}})&cos(\theta -{\frac {4.\pi }{3}})\\-sin(\theta )&-sin(\theta -{\frac {2.\pi }{3}})&-sin(\theta -{\frac {4.\pi }{3}})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{a}\\x_{b}\\x_{c}\end{bmatrix}}}$

Noter que la transformée de Park-Clark assure la conservation des amplitudes des grandeurs, mais pas des puissances électriques, à la différence de la transformée de Park-Concordia.

Noter également que l'amplitude d'un vecteur dans le repère de Park ne dépend pas de l'angle ${\displaystyle \theta }$, et peut être obtenu par la formule suivante :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{d}\\x_{q}\end{vmatrix}}=x_{a}^{2}+x_{b}^{2}+x_{c}^{2}-x_{a}.x_{b}-x_{a}.x_{c}-x_{b}.x_{c}}$

Géométriquement la transformation de Clarke est une combinaison de rotations. En partant d'un espace en trois dimensions ayant pour axes orthogonaux a, b, et c.

Une rotation d'axe a d'angle -45° est effectuée. La matrice de rotation est :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(-\pi /4)&\sin(-\pi /4)\\0&-\sin(-\pi /4)&\cos(-\pi /4)\end{bmatrix}}}$

Soit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$

On obtient donc le nouveau repère suivant :

Une rotation d'axe b' et d'angle environ 35.26° (${\displaystyle \phi =\cos ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}}$) est ensuite effectué :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&0&-\sin(\phi )\\0&1&0\\\sin(\phi )&0&\cos(\phi )\end{bmatrix}}}$

Soit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {-1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}}$

La composition de ces deux rotations a pour matrice :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {-1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$

Cette matrice est appelée matrice de Clarke.

Les axes sont renommés α, β et z. L'axe z est à 'égales distances' des trois axes initiaux a, b, et c (il passe par le centre du triangle (a,b,c)). Si le système initial est équilibré, la composante en z est donc nulle, et le système est simplifié.

A la différence de la transformée de Clarke qui n'est pas unitaire, la transformée de Concordia conserve la puissance. Les puissances actives et réactives calculées dans le nouveau système ont donc les mêmes valeurs que dans le système initial. La matrice de Concordia vaut :

${\displaystyle i_{\alpha \beta o}(t)=Pi_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

La matrice inverse de Concordia est égale à la transposée de la matrice Concordia[3] :

${\displaystyle i_{abc}(t)=P^{-1}i_{\alpha \beta o}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{o}(t)\end{bmatrix}}}$

Si les puissances sont conservées, les amplitudes des grandeurs initiales ne le sont pas. Dans le détail :

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{o}=&0.\end{aligned}}}$

La transformée de Park modélise une machine tournante à trois enroulements alimentés par des courants triphasés par deux enroulements perpendiculaires tournant avec le rotor, alimentés par des courants continus

La transformée de Park reprend les principes de la transformée de Clarke, mais la pousse plus loin. Après la transformée de Clarke d'un système triphasé équilibré, on obtient le système suivant :

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{o}=&0.\end{aligned}}}$

La transformée de Park vise à supprimer le caractère oscillatoire de ${\displaystyle i_{\alpha }}$ et ${\displaystyle i_{\beta }}$ en effectuant une rotation supplémentaire d'angle ${\displaystyle \theta }$ par rapport à l'axe o.

L'idée est de faire tourner le repère à la vitesse du rotor de la machine tournante. Le repère de Clarke est fixé au stator, tandis que celui de Park est fixé au rotor. Cela permet de simplifier certaines équations électromagnétiques.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alpha–beta transformation » (voir la liste des auteurs).