Transformation de Fortescue

Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :

${\displaystyle 3G_{o}\sin(\omega t+\varphi _{o})=G_{1}\sin(\omega t+\varphi _{1})+G_{2}\sin(\omega t+\varphi _{2})+G_{3}\sin(\omega t+\varphi _{3})}$

Remarque : Une grandeur soulignée représente le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale considérée.

C'est un nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$ : ${\displaystyle {\underline {a}}=e^{j{\frac {2}{3}}\pi }}$

Le résultat de sa multiplication par le nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$ par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$ dans le plan de Fresnel.

Il vérifie les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle {\underline {a}}^{3}=1}$
• ${\displaystyle 1+{\underline {a}}+{\underline {a}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{1}\\{\underline {G}}_{2}\\{\underline {G}}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&{\underline {a}}^{2}&{\underline {a}}\\1&{\underline {a}}&{\underline {a}}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{o}\\{\underline {G}}_{d}\\{\underline {G}}_{i}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{0}\\{\underline {G}}_{d}\\{\underline {G}}_{i}\end{bmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&{\underline {a}}&{\underline {a}}^{2}\\1&{\underline {a}}^{2}&{\underline {a}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{1}\\{\underline {G}}_{2}\\{\underline {G}}_{3}\end{bmatrix}}}$