Représentation de Fresnel

À toute grandeur fonction sinusoïdale du temps d'expression :

${\displaystyle g(t)={\hat {G}}\,\sin(\omega t+\varphi )}$,

on fait correspondre un vecteur ${\displaystyle {\vec {G}}\,}$ dont les caractéristiques sont les suivantes :

• module ${\displaystyle G\,}$ = amplitude ${\displaystyle {\hat {G}}\,}$(ou valeur maximale pour les courants et les tensions, cf. remarque ci-après),
• angle polaire ${\displaystyle \varphi \,}$, la phase à l'origine de la grandeur sinusoïdale.

Il est d'usage d'écrire ces grandeurs sous la forme :

${\displaystyle g(t)=G_{\rm {eff}}{\sqrt {2}}\,\sin(\omega t+\varphi )\,}$,

${\displaystyle G_{\rm {eff}}}$ étant la valeur efficace du courant ou de la tension considérés et de choisir cette valeur pour module du vecteur de Fresnel associé. Ce n'est pas une obligation, mais le choix doit être le même pour toutes les grandeurs utilisées pour les calculs.

Soit le circuit RC suivant soumis à une tension

${\displaystyle e(t)=E\cos(\omega t+\varphi )}$.

On cherche à déterminer l'intensité I du courant.

• En utilisant les amplitudes et impédances :

${\displaystyle {\underline {e}}=Ue^{j\omega t}}$ , ${\displaystyle {\underline {u}}_{c}=U_{C}e^{j\omega t}}$ , ${\displaystyle {\underline {u}}_{R}=U_{R}e^{j\omega t}}$ , ${\displaystyle {\underline {i}}=Ie^{j\omega t}}$

La loi des mailles donne :

${\displaystyle U=U_{C}+U_{R}=ZI}$.

Déterminons Z :

${\displaystyle Z=Z_{R}+Z_{C}=R-j{\frac {1}{C\omega }}}$

À partir de Z on en déduit :

${\displaystyle I={\frac {U}{Z}},\ \varphi \,=\mathrm {arg} (u)}$

• En utilisant les constructions vectorielles :

${\displaystyle U(E,\varphi \,)=U_{R}(RI,O)+U_{C}(I/(C\omega ),-\pi /2)}$

Soit la représentation de Fresnel :

• Puis de façon simple, il suffit de faire dans cet exemple (Attention, on ne somme pas les tensions mais les amplitudes complexes) :

${\displaystyle \tan(\varphi \,)=(-I/(C\omega ))/(RI)}$

${\displaystyle U^{2}=(-I/(C\omega ))^{2}+(RI)^{2}}$

On peut retrouver ainsi facilement I.

Nous avons avec la représentation de Fresnel une vision rapide de tous les signaux et la possibilité de déterminer graphiquement les résultats.