Transformée de Park

La transformée dqo permet dans un système triphasé équilibré de transformer trois quantités alternatives en deux quantités continues. Cela simplifie considérablement la résolution d'équations. Une fois la solution calculée, la transformation inverse est utilisée pour retrouver les grandeurs triphasées correspondantes.

La transformée de Park reprend les principes de la transformée de Clarke, mais la pousse plus loin. Considérons un système de trois courants triphasés équilibrés :

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos(\theta (t))\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right)\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right)\end{aligned}}}$

Où ${\displaystyle I}$ est la valeur effective du courant et ${\displaystyle \theta (t)}$ l'angle. On pourrait tout aussi bien remplacer ${\displaystyle \theta (t)}$ par ${\displaystyle \omega t}$ sans perte de généralité. En appliquant la transformation de Clarke, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t)\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t)\\i_{o}=&0\end{aligned}}}$

La transformée de Park vise à supprimer le caractère oscillatoire de ${\displaystyle i_{\alpha }}$ et ${\displaystyle i_{\beta }}$ en effectuant une rotation supplémentaire d'angle ${\displaystyle \theta }$ par rapport à l'axe o.

L'idée est de faire tourner le repère à la vitesse du rotor de la machine tournante. Le repère de Clarke est fixé au stator , tandis que celui de Park est fixé au rotor. Cela permet de simplifier certaines équations électromagnétiques.

Géométriquement la transformation de Park est une combinaison de rotations. En partant d'un espace en trois dimensions ayant pour axes orthogonaux a, b, et c.

Une rotation d'axe a d'angle -45° est effectuée. La matrice de rotation est :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(-\pi /4)&-\sin(-\pi /4)\\0&\sin(-\pi /4)&\cos(-\pi /4)\end{bmatrix}}}$

soit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$

On obtient donc le nouveau repère :

Une rotation d'axe b' et d'angle environ 35.26° (${\displaystyle \phi =\cos ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}}$) est ensuite effectué :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&0&-\sin(\phi )\\0&1&0\\\sin(\phi )&0&\cos(\phi )\end{bmatrix}}}$

soit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {-1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}}$

La composition de ces deux rotations a pour matrice :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {-1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$

Cette matrice est appelée matrice de Clarke (même s'il s'agit en réalité de la matrice de Concordia, similaire à celle de Clarke à la différence qu'elle est unitaire).

Les axes sont renommés α, β, et z (noté o dans le reste de l'article). L'axe z est à égales distances des trois axes initiaux a, b, et c (c'est la bissectrice des 3 axes ou une diagonale du cube unitaire). Si le système initial est équilibré, la composante en z est nulle, et le système est simplifié.

À partir de la transformée de Clarke, une rotation supplémentaire d'axe z et d'angle ${\displaystyle \theta }$ est effectuée.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

La matrice obtenue en multipliant la matrice de Clarke à la matrice de rotation est celle de la transformée dqo :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&\cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\-\sin(\theta )&-\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$

Le repère tourne à la vitesse ${\displaystyle \theta }$. Les axes du nouveau repère sont appelés d, pour direct, et q pour quadrature.

Transformée dqo appliquée à une machine synchrone. Les trois enroulements sont séparés géométriquement par des angles de 120°. Les trois courants sont égaux en amplitude et séparés électriquement de 120°. Les courants sont déphasés par rapport aux tensions d'un angle ${\displaystyle \delta }$. Les axes d-q tournent à une vitesse angulaire ${\displaystyle \omega }$ par rapport au stator. Il s'agit de la même vitesse angulaire que celle des courants et tensions. L'axe d est séparé de l'enroulement A, choisi comme référence, d'un angle ${\displaystyle \theta =\omega t}$. Les courants ${\displaystyle I_{d}}$ et ${\displaystyle I_{q}}$ sont continus.

Exemple d'utilisation des transformées de Clarke et de Park dans une commande vectorielle.

Dans le cas des machines synchrones, la transformée dqo a la propriété remarquable de rendre constantes les inductances dans le temps[1].

La transformation dqo est très utilisée pour résoudre des problèmes liés aux machines synchrones et aux onduleurs triphasés.