Choix intertemporel

Le modèle de Fisher peut être illustré en prenant deux périodes : la période actuelle ou période 1 (ce mois ou cette année) et la période future ou période 2 (le mois prochain ou l’année prochaine). L’individu planifie sa consommation compte tenu de ses besoins et de ses revenus attendus. Sa contrainte budgétaire est :

${\displaystyle C_{2}=(Y_{1}-C_{1})(1+r)+Y_{2}}$

où ${\displaystyle C_{1}}$ est la consommation présente et ${\displaystyle C_{2}}$ la consommation future; ${\displaystyle Y_{1}}$ le revenu présent et ${\displaystyle Y_{2}}$ le revenu futur. La somme épargnée ${\displaystyle Y_{1}-C_{1}}$ (si cette différence est positive) ou empruntée (si cette différence est négative) est placée ou empruntée au taux d’intérêt ${\displaystyle r}$. Le consommateur maximise ses préférences représentées par la fonction d’utilité intertemporelle ${\displaystyle V(C_{1},C_{2})}$. En prenant le Lagrangien :

${\displaystyle L=V(C_{1},C_{2})+\lambda \left[Y_{1}(1+r)+Y_{2}-C_{1}(1+r)-C_{2}\right]}$

où ${\displaystyle \lambda }$ est une variable auxiliaire (le multiplicateur), on obtient les conditions de premier ordre suivantes :

Illustration de la contrainte budgétaire avec la consommation présente en abscisse et la consommation future en ordonnée.

Choix intertemporel du consommateur, compte tenu de sa contrainte budgétaire et de ses préférences

Si le consommateur épargne, une hausse du taux d’intérêt aura un effet ambigu sur la consommation présente.

Si le consommateur a emprunté, une hausse du taux d’intérêt conduit à une baisse de la consommation présente.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial C_{1}}}={\frac {\partial V}{\partial C_{1}}}-\lambda (1+r)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial C_{2}}}={\frac {\partial V}{\partial C_{2}}}-\lambda =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=Y_{1}(1+r)+Y_{2}-C_{1}(1+r)-C_{2}=0}$

En résolvant ce système d’équations on obtient les fonctions de consommation:

${\displaystyle C_{1}=f_{1}(Y_{1},Y_{2},r)\quad$ ;\quad C_{2}=f_{2}(Y_{1},Y_{2},r)}

Des conditions de premier ordre on tire la relation suivante:

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V}{\partial C_{1}}}{\frac {\partial V}{\partial C_{2}}}}-1=\rho =i}$

Le terme à gauche est appelé le taux de préférence pour le temps. À l’équilibre, il doit être égal au taux d’intérêt[3].

Graphiquement, la solution est obtenue lorsque la courbe d’indifférence la plus élevée est tangente à la droite représentant la contrainte budgétaire (point A).

On fait souvent l’hypothèse que la fonction d’utilité intertemporelle est de forme additive dans les périodes. On a alors :

${\displaystyle V=u(C_{1})+{\frac {1}{1+\rho }}u(C_{2})}$

où ${\displaystyle \rho }$ est le ``taux subjectif d’escompte’’ du temps et ${\displaystyle u(C_{.})}$ l’utilité instantanée. L’idée que les individus ``escomptent’’ les utilités futures comme avec les valeurs financières remonte à Böhm-Bawerk. Selon cet auteur[6] la sous-estimation des biens futurs est due à un manque d’imagination et à une faiblesse de volonté des individus.

En remplaçant ${\displaystyle C_{2}}$ par la valeur tirée de la contrainte budgétaire, on obtient la condition de premier ordre suivante pour la maximisation de la fonction d’utilité intertemporelle:

${\displaystyle u^{\prime }(C_{1})={\frac {1+r}{1+\rho }}u^{\prime }(C_{2})}$

En prenant cette équation intertemporelle de Euler on obtient la règle de Keynes-Ramsey[7]:

${\displaystyle {\frac {u^{\prime }(C_{2})}{(1+\rho )u^{\prime }(C_{1})}}={\frac {1}{1+r}}}$

Le taux marginal de substitution intertemporel doit être égal au prix relatif des consommations.

Le point de départ de la théorie du cycle de vie est le modèle de Fisher avec un horizon temporel égal à toute la vie du consommateur. Supposons que le revenu annuel soit constant et égal à ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ jusqu’à l’âge de la retraite ${\displaystyle N}$ et nul après. Si le consommateur vit ${\displaystyle L}$ ans, la consommation uniforme sera de ${\displaystyle \left[{\frac {N}{L}}{\bar {Y}}\right]}$ (on suppose que le taux d’intérêt soit nul). Le consommateur épargne chaque année ${\displaystyle {\bar {Y}}-{\frac {N}{L}}{\bar {Y}}}$ , jusqu’à l’âge de la retraite, et ensuite il utilisera l’épargne accumulée pour consommer pendant les années de retraite.

Dans le cas plus général[12], soit ${\displaystyle W_{t}^{T}}$ la valeur présente des revenus attendus par l’individu d’âge T en l’année t:

${\displaystyle W_{t}^{T}=A_{t-1}^{T}+Y_{t}^{T}+\sum _{\tau =T+1}^{N}{\frac {Y_{t}^{eT\tau }}{(1+r_{t})^{\tau -T}}}}$

où ${\displaystyle A_{t-1}^{T}}$ est le capital accumulé, ${\displaystyle Y_{t}^{eT\tau }}$ les revenus attendus et r te taux d’intérêt.

Si la fonction d’utilité est homogène par rapport aux consommations, on obtient la fonction de consommation suivante:

${\displaystyle C_{t}^{T}=\Omega _{t}^{T}A_{t-1}^{T}+\Omega _{t}^{T}Y_{t}^{T}+\Omega _{t}^{T}(N-T)Y_{t}^{eT}}$

où ${\displaystyle Y_{t}^{eT}}$ est le revenu attendu moyen et ${\displaystyle \Omega _{t}^{T}}$ un facteur proportionnel dépendant de la fonction d’utilité.

On peut généraliser le modèle en introduisant l’épargne pour des buts d’héritage, la sécurité sociale ou une durée de vie incertaine.

La théorie de Modigliani est utilisée pour étudier les systèmes de retraite publics et privés et le lien entre épargne et croissance[13].

Selon Friedman[14], la consommation dépend du revenu permanent de l’individu, c’est-à-dire le revenu moyen à long terme :

${\displaystyle c_{it}^{P}=\alpha y_{it}^{P}}$

où ${\displaystyle c_{it}^{P}}$ est la consommation (permanente), ${\displaystyle y_{it}^{P}}$ le revenu permanent et ${\displaystyle \alpha }$ est un coefficient qui dépend du taux d’intérêt, du taux de préférence pour le temps et du rapport entre la fortune du consommateur et son revenu.

Soit ${\displaystyle c_{it}}$ la consommation de l’individu i au temps t. On a:

${\displaystyle c_{it}=c_{it}^{P}+c_{it}^{T}}$

où ${\displaystyle c_{it}^{T}}$ est la consommation transitoire. D’autre part:

${\displaystyle y_{it}=y_{it}^{P}+y_{it}^{T}}$

${\displaystyle \sum _{i}y_{it}^{T}=\sum _{i}c_{it}^{T}=0}$

Le revenu transitoire n’a pas d’effet sur la consommation globale.

Friedman suppose qu’il n’y a pas de corrélation entre certaines de ces variables, en particulier entre le revenu transitoire et la consommation transitoire:

${\displaystyle \rho (C^{P},C^{T})=\rho (Y^{P},Y^{T})=\rho (C^{T},Y^{T})=0}$

où ${\displaystyle \rho }$ désigne le coefficient de corrélation.

Friedman propose d’estimer le revenu permanent par la technique des retards échelonnés:

${\displaystyle Y^{P}=\lambda _{o}Y_{t}+\lambda _{1}Y_{t-1}+\lambda _{2}Y_{t-2}+\ldots }$

où ${\displaystyle \lambda _{.}}$ sont des coefficients.

Les estimations avec des données agrégées montrent que la variation de la consommation par rapport à une variation du revenu est plus importante que celle prévue par la théorie du revenu permanent (variation excessive)[15].

Les estimations avec des données individuelles donnent des résultats assez favorables à la théorie du revenu permanent et à celle de la théorie du cycle de vie [16].