Élasticité de substitution intertemporelle

Pour isoler cet effet en temps discret, on emploie communément une fonction isoélastique (en) aussi appelée fonction CRRA (constant relative risk-aversion). Soit l'utilité ${\displaystyle u(c)}$, une fonction CRRA de la consommation :

${\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\frac {c^{1-\sigma }-1}{1-\sigma }}&{\text{si }}\sigma \neq 1\\log(c)&{\text{si }}\sigma =1\end{cases}}}$

Soit la fonction d'utilité actuelle escomptée ${\displaystyle U}$, le facteur d'escompte ${\displaystyle \beta }$ prenant en compte l'impatience de l'agent d'attendre la prochaine période :

${\displaystyle U=\sum _{s=0}^{\infty }\beta ^{s}u(c_{t+s})}$

Pour maximiser son utilité intertemporelle, l'agent doit satisfaire la condition :

${\displaystyle u'(c_{t})=\beta u'(c_{t+1})(1+r)\quad \forall t}$

C'est-à-dire que son utilité marginale au temps ${\displaystyle t}$ est égale à son utilité marginale au temps ${\displaystyle t+1}$ une fois que cette dernière est escomptée du facteur ${\displaystyle \beta }$ et actualisé au taux d'intérêt ${\displaystyle r}$.

${\displaystyle \Leftrightarrow 1=\beta {\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}(1+r)}$

${\displaystyle u'(c_{t})={\frac {(1-\sigma )c_{t}^{-\sigma }}{1-\sigma }}=c_{t}^{-\sigma }}$

${\displaystyle \Rightarrow 1=\beta {\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}(1+r)}$

Par approximation de Hicks (raisonnable en supposant ${\displaystyle 0<r<1}$) :

${\displaystyle 0=r+\beta -\sigma \Delta \ln {c_{t+1}}\Leftrightarrow \Delta \ln {c_{t+1}}={\frac {r+\beta }{\sigma }}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\partial \Delta \ln {c_{t+1}}}{\partial r}}={\frac {1}{\sigma }}}$

Ainsi, l'EIS est dans ce cas définie par ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}}$. Si ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}>1}$, alors l'effet de substitution domine, inversement, si ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}<1}$, l'effet de revenu est dominant.

• (en) Michael Wickens, Macroeconomic Theory, Princeton University Press, 16 mars 2012, 2^e éd., 616 p. (ISBN 978-0-691-15286-8, lire en ligne).