Catégorie groupoïde

Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie ${\displaystyle *}$ et une application (partout définie) ${\displaystyle .^{-1}}$, qui satisfont les trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :

• chaque fois que ${\displaystyle f*g}$ et ${\displaystyle g*h}$ sont définis simultanément, alors ${\displaystyle (f*g)*h}$ et ${\displaystyle f*(g*h)}$ sont aussi définis, et sont égaux, on les note ${\displaystyle fgh}$ ou ${\displaystyle f*g*h}$. Réciproquement, si ${\displaystyle (f*g)*h}$ ou ${\displaystyle f*(g*h)}$ sont définis, il en est de même de ${\displaystyle f*g}$ et ${\displaystyle g*h}$ ;
• ${\displaystyle f^{-1}*f}$ et ${\displaystyle f*f^{-1}}$ sont toujours définis (mais éventuellement différents) ;
• chaque fois que ${\displaystyle f*g}$ est défini, alors ${\displaystyle f*g*g^{-1}=f}$, et ${\displaystyle f^{-1}*f*g=g}$. (Ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).

On montre alors que :

• si ${\displaystyle x*f=u*f}$ alors ${\displaystyle x=u}$. Il suffit en effet de composer à droite par ${\displaystyle f^{-1}}$ ;
• si ${\displaystyle f*y=f*v}$ alors ${\displaystyle y=v}$. Il suffit en effet de composer à gauche par ${\displaystyle f^{-1}}$ ;
• ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f}$. En effet, ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f=f}$ ;
• si ${\displaystyle f*g}$ est défini, il en est de même de ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}}$, et ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}=(f*g)^{-1}}$. En effet, ${\displaystyle f=f*g*g^{-1}}$ donc ${\displaystyle f*f^{-1}=f*g*g^{-1}*f^{-1}}$ ce qui suffit à assurer l'existence de ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}}$. Par ailleurs, ${\displaystyle f^{-1}*f*g*(f*g)^{-1}=f^{-1}=f^{-1}*f*f^{-1}=f^{-1}*f*g*g^{-1}*f^{-1}}$ et il suffit de simplifier à gauche ${\displaystyle f^{-1}}$, ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$.

À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.

Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les ${\displaystyle x=f^{-1}*f}$ lorsque ${\displaystyle f}$ varie (on remarque que ces éléments vérifient : ${\displaystyle x^{-1}=x=x^{n}}$). L'ensemble des morphismes x→y, noté ${\displaystyle G(f^{-1}*f,g^{-1}*g)=G(x,y)}$, est l'ensemble des h tels que ${\displaystyle y*h*x}$ est défini (cet ensemble pouvant être vide).