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Catégorie à involution

En mathématiques, une †-catégorie (catégorie dague, également appelée catégorie involutive ou catégorie à involution[1] - [2]) est une catégorie dotée d'une certaine structure appelée dague ou involution. Le nom de catégorie dague a été inventée par Selinger[3].

Définition formelle

Une †-catégorie est une catégorie dotée d'un foncteur involutif qui correspond à l'identité sur les objets, où est la catégorie opposée (ie un foncteur contravariant tel que composé par lui-même, donne le foncteur trivial ).

Plus précisément, cela signifie que ce foncteur associe à tout morphisme de son adjoint , de sorte que pour tous et , on ait :

Notez que dans la définition précédente, le terme "adjoint" est utilisé de manière analogue à celui de l'algèbre linéaire, et non en le sens de la théorie des catégories.

Certaines sources[4] définissent une †-catégorie comme une †-catégorie, avec la propriété supplémentaire que sa collection de morphismes est partiellement ordonnée, et que l'ordre des morphismes est compatible avec la composition des morphismes, c'est-à-dire : implique pour les morphismes , , , dès que les composées ont un sens.

Exemples

  • La catégorie Rel des ensembles et des relations binaires possède une structure de †-catégorie : pour une relation donnée dans Rel, la relation est la relation inverse de . Dans cet exemple, un morphisme auto-adjoint est une relation symétrique.
  • La catégorie Cob des cobordismes est une †-catégorie compacte.
  • La catégorie Hilb des espaces de Hilbert possède également une structure de †-catégorie : étant donné une application linéaire continue , l'adjoint est juste son adjoint au sens usuel.
  • Tout monoïde à involution est une †-catégorie avec un seul objet.
  • Une catégorie discrète est trivialement une †-catégorie, où le foncteur † est le foncteur trivial.
  • Un groupoïde (et donc a fortiori un groupe) a également une structure de †-catégorie, où l'adjoint d'un morphisme est défini comme son inverse. Dans ce cas, tous les morphismes sont unitaires.

Morphismes remarquables

Dans une †-catégorie , un morphisme est appelé

  • unitaire si c'est un isomorphisme tel que ;
  • auto-adjoint si c'est un endomorphisme tel que

Les termes unitaire et auto-adjoint dans la définition précédente sont directement inspirés de la catégorie des espaces de Hilbert, où les morphismes satisfaisant ces propriétés sont alors unitaires et auto-adjoints au sens habituel.

  • *-algèbre
  • †-catégorie monoïdale symétrique
  • †-catégorie compacte

Références

  1. M. Burgin, Categories with involution and correspondences in γ-categories, IX All-Union Algebraic Colloquium, Gomel (1968), pp.3435; M. Burgin, Categories with involution and relations in γ-categories, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1970, v. 22, pp. 161228
  2. J. Lambek, Diagram chasing in ordered categories with involution, Journal of Pure and Applied Algebra 143 (1999), No.13, 293307
  3. P. Selinger, Dagger compact closed categories and completely positive maps, Proceedings of the 3rd International Workshop on Quantum Programming Languages, Chicago, June 30July 1, 2005.
  4. (en) « Catégorie à involution », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
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