Catégorie à involution

Une †-catégorie est une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dotée d'un foncteur involutif ${\displaystyle ^{\dagger }\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ qui correspond à l'identité sur les objets, où ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ est la catégorie opposée (ie un foncteur contravariant ${\displaystyle ^{\dagger }:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ tel que composé par lui-même, donne le foncteur trivial ${\displaystyle {\text{id}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$).

Plus précisément, cela signifie que ce foncteur associe à tout morphisme ${\displaystyle f\colon A\to B}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ son adjoint ${\displaystyle f^{\dagger }\colon B\to A}$, de sorte que pour tous ${\displaystyle f\colon A\to B}$ et ${\displaystyle g\colon B\to C}$, on ait :

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{A}^{\dagger }\colon A\rightarrow A}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }\colon C\rightarrow A}$
• ${\displaystyle f^{\dagger \dagger }=f\colon A\rightarrow B\,}$

Notez que dans la définition précédente, le terme "adjoint" est utilisé de manière analogue à celui de l'algèbre linéaire, et non en le sens de la théorie des catégories.

Certaines sources[4] définissent une †-catégorie comme une †-catégorie, avec la propriété supplémentaire que sa collection de morphismes est partiellement ordonnée, et que l'ordre des morphismes est compatible avec la composition des morphismes, c'est-à-dire : ${\displaystyle a<b}$ implique ${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$ pour les morphismes ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, dès que les composées ont un sens.

• La catégorie Rel des ensembles et des relations binaires possède une structure de †-catégorie : pour une relation donnée ${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$ dans Rel, la relation ${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$ est la relation inverse de ${\displaystyle R}$ . Dans cet exemple, un morphisme auto-adjoint est une relation symétrique.
• La catégorie Cob des cobordismes est une †-catégorie compacte.
• La catégorie Hilb des espaces de Hilbert possède également une structure de †-catégorie : étant donné une application linéaire continue ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, l'adjoint ${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$ est juste son adjoint au sens usuel.
• Tout monoïde à involution est une †-catégorie avec un seul objet.
• Une catégorie discrète est trivialement une †-catégorie, où le foncteur † est le foncteur trivial.
• Un groupoïde (et donc a fortiori un groupe) a également une structure de †-catégorie, où l'adjoint d'un morphisme est défini comme son inverse. Dans ce cas, tous les morphismes sont unitaires.

Dans une †-catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, un morphisme ${\displaystyle f}$ est appelé

• unitaire si c'est un isomorphisme tel que ${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1}}$ ;
• auto-adjoint si c'est un endomorphisme tel que ${\displaystyle f^{\dagger }=f}$

Les termes unitaire et auto-adjoint dans la définition précédente sont directement inspirés de la catégorie des espaces de Hilbert, où les morphismes satisfaisant ces propriétés sont alors unitaires et auto-adjoints au sens habituel.

• *-algèbre
• †-catégorie monoïdale symétrique
• †-catégorie compacte