Catégorie à involution
En mathématiques, une †-catégorie (catégorie dague, également appelée catégorie involutive ou catégorie à involution[1] - [2]) est une catégorie dotée d'une certaine structure appelée dague ou involution. Le nom de catégorie dague a été inventée par Selinger[3].
Définition formelle
Une †-catégorie est une catégorie dotée d'un foncteur involutif qui correspond à l'identité sur les objets, où est la catégorie opposée (ie un foncteur contravariant tel que composé par lui-même, donne le foncteur trivial ).
Plus précisément, cela signifie que ce foncteur associe à tout morphisme de son adjoint , de sorte que pour tous et , on ait :
Notez que dans la définition précédente, le terme "adjoint" est utilisé de manière analogue à celui de l'algèbre linéaire, et non en le sens de la théorie des catégories.
Certaines sources[4] définissent une †-catégorie comme une †-catégorie, avec la propriété supplémentaire que sa collection de morphismes est partiellement ordonnée, et que l'ordre des morphismes est compatible avec la composition des morphismes, c'est-à-dire : implique pour les morphismes , , , dès que les composées ont un sens.
Exemples
- La catégorie Rel des ensembles et des relations binaires possède une structure de †-catégorie : pour une relation donnée dans Rel, la relation est la relation inverse de . Dans cet exemple, un morphisme auto-adjoint est une relation symétrique.
- La catégorie Cob des cobordismes est une †-catégorie compacte.
- La catégorie Hilb des espaces de Hilbert possède également une structure de †-catégorie : étant donné une application linéaire continue , l'adjoint est juste son adjoint au sens usuel.
- Tout monoïde à involution est une †-catégorie avec un seul objet.
- Une catégorie discrète est trivialement une †-catégorie, où le foncteur † est le foncteur trivial.
- Un groupoïde (et donc a fortiori un groupe) a également une structure de †-catégorie, où l'adjoint d'un morphisme est défini comme son inverse. Dans ce cas, tous les morphismes sont unitaires.
Morphismes remarquables
Dans une †-catégorie , un morphisme est appelé
- unitaire si c'est un isomorphisme tel que ;
- auto-adjoint si c'est un endomorphisme tel que
Les termes unitaire et auto-adjoint dans la définition précédente sont directement inspirés de la catégorie des espaces de Hilbert, où les morphismes satisfaisant ces propriétés sont alors unitaires et auto-adjoints au sens habituel.
- *-algèbre
- †-catégorie monoïdale symétrique
- †-catégorie compacte
Références
- M. Burgin, Categories with involution and correspondences in γ-categories, IX All-Union Algebraic Colloquium, Gomel (1968), pp.34–35; M. Burgin, Categories with involution and relations in γ-categories, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1970, v. 22, pp. 161–228
- J. Lambek, Diagram chasing in ordered categories with involution, Journal of Pure and Applied Algebra 143 (1999), No.1–3, 293–307
- P. Selinger, Dagger compact closed categories and completely positive maps, Proceedings of the 3rd International Workshop on Quantum Programming Languages, Chicago, June 30–July 1, 2005.
- (en) « Catégorie à involution », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)