Catégorie discrète

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une catégorie discrète est une catégorie dont les seuls morphismes sont les identités :

hom_C(X, X) = {id_X} pour tout objet X ;
hom_C(X, Y) = ∅ pour tous objets X ≠ Y.

L'existence des identités étant imposée par la définition de catégorie, on peut reformuler ce qui précède par une condition sur la cardinalité des ensembles de morphismes :

| hom _C ( X, Y ) | vaut 1 lorsque X = Y et 0 lorsque X ≠Y .

Autrement dit, le nombre de morphismes de chaque ensembles de morphismes est minimal.

Certains auteurs adoptent une définition plus faible d'une catégorie discrète : une catégorie est dite discrète lorsqu'elle est équivalente à une catégorie vérifiant les axiomes énoncés ci-dessus.

Propriétés

Toute classe peut être considérée comme une catégorie discrète en lui ajoutant les identités[1].

Toute sous-catégorie d'une catégorie discrète est discrète.

Une catégorie est discrète si et seulement si toutes ses sous-catégories sont pleines.

Le produit d'une famille d'objets est définit par la limite d'un foncteur d'une catégorie discrète dans une catégorie quelconque.

De manière duale, la somme d'une famille d'objets est la colimite d'un foncteur d'une catégorie discrète dans une catégorie quelconque.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Discrete category » (voir la liste des auteurs).

Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, p. 6

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