Binaire spectroscopique

Dans le cadre d'un simple mouvement képlérien, chaque composante du système décrit une orbite autour du barycentre. Par dérivation par rapport au temps de la projection de ce mouvement le long de la ligne de visée, z = r sini sin(ν+ω) où r est le rayon vecteur, et en tenant compte également de la vitesse propre du barycentre dans l'espace, on observe pour chaque composante (les indices 1,2 des composantes étant omis) la vitesse radiale:

${\displaystyle V_{R}=V_{\gamma }+K\left(e\cos \omega +\cos(\nu +\omega )\right)}$ km/s avec

${\displaystyle K_{1,2}={\frac {10879}{P}}{\frac {a_{1,2}\sin i}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$ km/s

où:

• • V_γ = vitesse du barycentre le long de la ligne de visée en km/s.
  • K₁ (resp. K₂) = (semi-)amplitude de la courbe de vitesse radiale de la primaire (resp. secondaire) en km/s.
  • a₁ (resp. a₂) = demi-grand axe de l'orbite de la primaire (resp. secondaire) autour du barycentre en unité astronomique.
  • e = excentricité de l'orbite.
  • P = période orbitale en Jour julien.
  • ν = anomalie vraie, fonction du temps écoulé depuis la date T du passage au périastre, de la période orbitale, et de l'excentricité.
  • ω_1,2 = angle entre le nœud et le périastre. ω₁ est mesuré à partir du nœud ascendant, quand l'étoile s'éloigne de l'observateur et ω₂ = ω₁+π.
  • i = inclinaison, angle entre la normale au plan de l'orbite et la ligne de visée.

L'intérêt des binaires réside en premier lieu dans la détermination des masses. Si l'on note M₁ (resp. M₂) la masse de l'étoile primaire (resp. secondaire) en masse solaire, on peut maintenant utiliser la troisième loi de Kepler (cf. les binaires astrométriques). On voit alors qu'une binaire spectroscopique donne accès à la fonction de masse définie en masse solaire par :

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {1}{2\pi G}}\,\,K_{1}^{3}(1-e^{2})^{3/2}P\approx 1.035753\times 10^{-7}\,\,K_{1}^{3}(1-e^{2})^{3/2}P}$

où les variables du membre de gauche sont inconnues tandis que le membre de droite est obtenu par l'analyse de la courbe de vitesse radiale en fonction du temps t. La période (exprimée en jours) est déterminée souvent grâce à la courbe de lumière qui, repliée en phase φ = (t-T)/P où T est le temps du périastre, apparaît comme périodique. L'amplitude de l'orbite K, exprimée en kilomètres par seconde, est obtenue par mesure des vitesses radiales grâce à l'effet Doppler. La courbe des vitesses radiales, si elle est bien échantillonnée, permet en fait d'obtenir tous les paramètres orbitaux sauf l'inclinaison. À cause de cette limitation, on n'a pas accès directement aux masses individuelles des composantes, car l'inclinaison est (généralement) très difficile à obtenir.

Dans le cas d'une BS2, on a de plus accès au rapport des masses, car M₂/M₁ = K₁/K₂. De même, en inversant la définition de l'amplitude K₁ ci-dessus, il apparaît que le demi-grand axe peut être obtenu dans des unités absolues, et non pas angulaires (dépendantes de la distance) comme c'est le cas avec les orbites astrométriques. Mais, ici encore, c'est à un facteur sin i près.

Pour avoir néanmoins une information concernant les masses de chaque composante, il y a plusieurs méthodes :

• Le cas le plus défavorable se produit quand aucune mesure complémentaire n'est disponible pour une BS1. Comme le type de l'étoile primaire est, au moins grossièrement, connu, une estimation de M₁ est possible. Reste l'inclinaison inconnue qui ne permet de ne connaître que la masse minimum de la secondaire. Statistiquement, on peut utiliser le fait que l'observateur n'a pas une position privilégiée et que toutes les orientations sont équiprobables. On peut montrer alors qu'en moyenne sin i= π/4. Le problème est identique pour une BS2, quoiqu'il soit parfois possible d'obtenir l'inclinaison par polarimétrie.

• La situation s'améliore si la binaire est également connue comme binaire astrométrique, permettant alors de connaître l'inclinaison. Pour une BS2, les masses individuelles sont donc obtenues de manière purement dynamique. Pour une BS1, au contraire, il faut faire une hypothèse sur la masse de la primaire.

• Mieux, si le couple est une également binaire visuelle ou binaire interférométrique: pour une BS2, on acquiert en sus des masses une estimation de la distance indépendante de la parallaxe ainsi que les luminosités. Pour une BS1, les masses sont obtenues si la distance est déjà connue.

• La voie royale concerne les binaires à éclipse (cf. Algol) fournissant alors une estimation de l'inclinaison (voisine de 90 degrés pour qu'une éclipse se produise) obtenue à l'aide d'un modèle. On a alors accès aux masses, luminosités, rayons, températures des étoiles.

À partir des formules ci-dessus, on peut tirer les conclusions suivantes quant aux capacités de détection des binaires spectroscopiques (ou des planètes extrasolaires) :

• Plus l'objet secondaire est massif, plus il est détectable facilement.
• Pour des masses données, en insérant la 3^e loi de Kepler dans l'expression de l'amplitude, on a ${\displaystyle K_{1}\propto P^{-1/3}}$, donc la sensibilité sera meilleure aux courtes périodes orbitales, donc des couples serrés.
• La vitesse maximale est obtenue quand i=90 degrés, le plan de l'orbite étant parallèle à la ligne de visée.

• binaire à temps de trajet de lumière
• binaire à éclipses