Axiome du choix dépendant

L'axiome peut s'énoncer comme suit[2] : pour tout ensemble non vide X, et pour toute relation binaire R sur X, si l'ensemble de définition de R est X tout entier (c'est-à-dire si pour tout a∈X, il existe au moins un b∈X tel que aRb) alors il existe une suite (x_n) d'éléments de X telle que pour tout n∈N, x_nRx_n+1. Noter que cet axiome n'est pas nécessaire pour former, pour chaque entier n, la sous-suite finie des n premiers termes. Il n'est nécessaire que pour former la suite infinie tout entière.

Dans le cas particulier où X est l'ensemble des nombres réels, l'axiome est parfois noté DC_R.

DC est la variante la moins puissante d'AC nécessaire à montrer l'existence d'une suite construite par une récursion transfinie de longueur dénombrable et dans laquelle il faut faire un choix à chaque étape. Un exemple de théorème est le lemme de König, qui dit qu'un arbre infini à branchement fini possède une branche infinie.

DC est équivalent (ajouté à la théorie ZF) à l'énoncé que tout arbre élagué (en) (non vide) possède une branche. Il est aussi équivalent au théorème de Baire pour les espaces métriques complets[3].

Contrairement à AC dans sa formulation pleine, DC est insuffisant (dans ZF) pour démontrer qu'il existe un ensemble non mesurable de réels, ou qu'il existe un ensemble de réels qui n'a pas la propriété de Baire ou sans la propriété d'ensemble parfait.

L'axiome du choix dénombrable se déduit facilement de l'axiome du choix dépendant (considérer, pour une suite (A_n) d'ensembles non vides, la relation R sur ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\prod _{k<n}A_{k}}$ définie par : sRt si s est égal à t privé de son dernier élément). Il est bien plus difficile de prouver que cette implication est stricte[4].