Argument d'un nombre complexe
Un argument d’un nombre complexe z non nul est une mesure (en radians , donc modulo 2π ) de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses ) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par z (voir la figure ci-contre).
Dans le plan complexe, si
z est l'affixe du point
M , alors un argument de
z correspond à une mesure de l'angle
(
O
x
→
,
O
M
→
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})}
.
Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.
Définition
Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :
(
O
x
→
,
O
M
→
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})}
où M est l'image de z dans le plan complexe , c'est-à-dire le point d'affixe z .
De manière équivalente, un argument de z est un nombre réel
θ
{\displaystyle \theta }
tel que :
cos
θ
=
ℜ
(
z
)
|
z
|
et
sin
θ
=
ℑ
(
z
)
|
z
|
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Re (z)}{|z|}}\quad {\text{et}}\quad \sin \theta ={\frac {\Im (z)}{|z|}}}
,
où
ℜ
(
z
)
{\displaystyle \Re (z)}
,
ℑ
(
z
)
{\displaystyle \Im (z)}
et
|
z
|
{\displaystyle \left|z\right|}
sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de z .
Souvent, on note un argument du nombre complexe z de façon simplifiée par :
arg
z
=
θ
{\displaystyle \arg z=\theta }
ou plus précisément :
arg
z
≡
θ
mod
2
π
{\displaystyle \arg z\equiv \theta {\bmod {2\pi }}}
.
Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase [1] ou de l' amplitude [2] d'un nombre complexe :
p
h
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {ph} (z)}
.
Si z n'est pas un imaginaire pur ,
tan
(
arg
z
)
=
ℑ
(
z
)
ℜ
(
z
)
=
z
−
z
¯
i
(
z
+
z
¯
)
{\displaystyle \tan(\arg z)={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}={\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}}
, où
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
est le conjugué de z et donc :
si
ℜ
(
z
)
>
0
{\displaystyle \Re (z)>0}
,
arg
z
≡
arctan
ℑ
(
z
)
ℜ
(
z
)
≡
arctan
z
−
z
¯
i
(
z
+
z
¯
)
mod
2
π
{\displaystyle \arg z\equiv \arctan {\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}\equiv \arctan {\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}{\bmod {2\pi }}}
.
De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe z non nul peut être entièrement déterminé de la façon suivante :
arg
z
=
{
2
arctan
ℑ
(
z
)
ℜ
(
z
)
+
|
z
|
si
z
∉
R
−
π
si
z
∈
R
−
∗
.
{\displaystyle \arg z={\begin{cases}2\arctan {\frac {\Im (z)}{\Re (z)+\left|z\right|}}&{\text{si }}z\notin \mathbb {R} _{-}\\\pi &{\text{si }}z\in \mathbb {R} _{-}^{*}{\text{.}}\end{cases}}}
Cette expression se déduit d'une des formules de l'arc moitié ,
tan
(
θ
2
)
=
sin
(
θ
)
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle \tan({\frac {\theta }{2}})={\frac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}
.
Propriétés
Soient z , z 1 et z 2 des complexes non nuls. On a,
mod
2
π
{\displaystyle {\bmod {2\pi }}}
:
arg
(
z
1
z
2
)
≡
arg
z
1
+
arg
z
2
{\displaystyle \arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}}
.
En particulier :
pour tout réel a non nul :
arg
(
a
z
)
≡
{
arg
z
si
a
>
0
(
arg
z
)
+
π
si
a
<
0
;
{\displaystyle \arg(az)\equiv {\begin{cases}\arg z&{\text{si }}a>0\\(\arg z)+\pi &{\text{si }}a<0{\text{ ;}}\end{cases}}}
pour tout entier relatif n :
arg
(
z
n
)
≡
n
arg
z
{\displaystyle \arg(z^{n})\equiv n\arg z}
.
Applications à la géométrie
Si A , B , C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a , b , c et d , alors :
(
A
B
→
,
C
D
→
)
≡
arg
d
−
c
b
−
a
mod
2
π
{\displaystyle ({\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {CD}})\equiv \arg {\frac {d-c}{b-a}}{\bmod {2\pi }}}
.
Notes et références
(en) Dictionary of Mathematics , 2002, « phase ». (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II , Dover Publications, 1996 , 150 p. (ISBN 978-0-486-69219-7 ) , p. 3 .
Articles connexes
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