Approximation des régimes quasi stationnaires

Soit un émetteur grandes ondes de fréquence ${\displaystyle f=180\ \mathrm {kHz} }$ (${\displaystyle T=5{,}6\ \mu \mathrm {s} }$).

• Soit un récepteur situé à une distance ${\displaystyle D=10\ \mathrm {cm} }$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera ${\displaystyle \Delta t=D/c=0{,}33\ \mathrm {ns} }$. ${\displaystyle \Delta t\ll T,}$ donc l'approximation est valable.
• Soit un récepteur situé à une distance ${\displaystyle D=1\ \mathrm {km} }$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera ${\displaystyle \Delta t=D/c=3{,}3\ \mu \mathrm {s} }$. ${\displaystyle \Delta t}$ n'est plus du tout négligeable devant ${\displaystyle T}$, l'approximation n'est donc plus valable.

L'équation de Maxwell-Ampère :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {B}}=\mu _{0}{\overrightarrow {j}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}}$

en régime variable, donne le rotationnel du vecteur champ magnétique comme une somme de deux termes.

Or, dans l'ARQS (c'est-à-dire quand la fréquence est assez faible pour une dimension de circuit donnée), le second terme ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}{\tfrac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}}$ est en général négligeable devant le premier ${\displaystyle \mu _{0}{\overrightarrow {j}}}$ (l'exception la plus courante concerne l'espace inter-armatures d'un condensateur, dans lequel ${\displaystyle {\overrightarrow {j}}}$ est nul).

L'équation de Maxwell-Ampère devient

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {B}}=\mu _{0}{\overrightarrow {j}}}$.

Si on applique l'opérateur divergence à l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

${\displaystyle \mathrm {div} {\bigl (}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {B}}{\bigr )}=\mathrm {div} (\mu _{0}{\overrightarrow {j}})}$.

Ce qui, selon les règles de l'analyse vectorielle, donne :

${\displaystyle \mathrm {div} {\overrightarrow {j}}=0}$.

On applique ensuite le théorème de Green-Ostrogradski :

${\displaystyle \iiint _{V}\mathrm {div} {\overrightarrow {j}}\cdot \mathrm {d} \tau =\oiint _{S}{\overrightarrow {j}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}\ =I_{\text{à travers la surface fermée}}=0}$.

La somme algébrique des intensités passant par un nœud est donc nulle. Ainsi, la loi des nœuds reste valable dans l'approximation des régimes quasi stationnaires.