Angle de vecteurs

À partir d’une origine O, tout vecteur non nul dirige une demi-droite, donc un couple de vecteurs détermine un secteur angulaire délimité par les deux demi-droites correspondantes et parcouru par les demi-droites intermédiaires en tournant dans le sens direct.

Étant donnés deux couples de vecteurs tous non nuls ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}$ et ${\displaystyle ({\vec {u}}',{\vec {v}}')}$, on dit qu’il décrivent le même angle de vecteurs s’il existe une rotation plane et deux réels (strictement) positifs λ et μ tels que ${\displaystyle r({\vec {u}})=\lambda u'}$ et ${\displaystyle r({\vec {v}})=\mu v'}$.

Les angles de vecteurs dans le plan sont orientés, c’est-à-dire que l’angle ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}$ est l’opposé de l’angle ${\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {u}})}$.

Les angles de vecteurs peuvent être additionnés et respectent la relation de Chasles : ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})+({\vec {v}},{\vec {w}})=({\vec {u}},{\vec {w}})}$.

L’existence d’un produit scalaire permet de définir l’angle α entre deux vecteurs non nuls avec la formule ${\displaystyle \langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle =\lVert {\vec {u}}\rVert \cdot \lVert {\vec {v}}\rVert \cos(\alpha )}$. Le fait que le quotient ${\displaystyle {\frac {\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle }{\lVert {\vec {u}}\rVert \cdot \lVert {\vec {v}}\rVert }}}$ soit compris entre −1 et 1 provient de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Il n’y a plus de relation de Chasles entre les vecteurs, et l’interversion des vecteurs ne change pas l’angle, mais si chaque angle est mesuré entre 0 et π, on obtient une inégalité triangulaire : ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})+({\vec {v}},{\vec {w}})\geq ({\vec {u}},{\vec {w}})}$.