Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

Pour éliminer le champ magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}}$ entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. À l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors

${\displaystyle {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}\ +\ \mu \ {\frac {\partial }{\partial t}}\ \left({\vec {j}}\ +\ \epsilon \ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)=0.}$

L’identité des opérateurs vectoriels ${\displaystyle \ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}={\vec {\mathrm {grad} }}\ \mathrm {div} {\vec {E}}\ -\ \Delta {\vec {E}}\ }$ conduit ensuite à la relation

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\ \mu \ {\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}\ +\ {\vec {\mathrm {grad} }}\ \mathrm {div} {\vec {E}}}$

et la relation 4 implique finalement

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\ \mu {\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}\ +\ {\frac {1}{\epsilon }}\ {\vec {\mathrm {grad} }}\ \rho .}$

Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient

${\displaystyle \Delta {\vec {H}}\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=\ -\ \mu \ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {j}}.}$

La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}={\vec {0}},}$

${\displaystyle \Delta {\vec {H}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}={\vec {0}},}$

qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse ${\displaystyle v}$ définie par ${\displaystyle \epsilon \ \mu \ v^{2}=1}$.

Dans le vide (${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ et ${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{0}}$), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque ${\displaystyle \epsilon _{0}\ \mu _{0}\ c^{2}=1}$.

Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).

Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation ${\displaystyle \omega }$ et d’un vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$ de norme notée ${\displaystyle k}$, la fonction scalaire

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=e^{i(({\vec {k}},{\vec {x}})-\omega t)}}$

permet de définir des champs

${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {x}},t)=u({\vec {x}},t){\vec {H}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {x}},t)=u({\vec {x}},t){\vec {E}}_{0}}$

qui sont solutions lorsque ${\displaystyle k\,v=\omega .}$

Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :

${\displaystyle ({\vec {E}},{\vec {H}})=({\vec {k}},{\vec {E}})=({\vec {k}},{\vec {H}})=0}$

et le rapport des carrés des normes des champs satisfait

${\displaystyle \mu \ ||H||^{2}=\epsilon \ ||E||^{2}.}$

La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :

${\displaystyle {\vec {j}}=\sigma _{\Omega }{\vec {E}},}$

${\displaystyle \sigma _{\Omega }}$ étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).

En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\ -\ \sigma _{\Omega }\ \mu \ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0,}$

${\displaystyle \Delta {\vec {H}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\ -\ \sigma _{\Omega }\ \mu \ {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=0.}$

Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.

Partant d’une pulsation ${\displaystyle \omega }$, d’un vecteur d’onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$ de norme ${\displaystyle k}$ et un facteur d’amortissement ${\displaystyle \lambda }$, la fonction scalaire

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=e^{-\lambda ({\vec {k}},{\vec {x}})}\cdot e^{i(({\vec {k}},{\vec {x}})-\omega t)}}$

est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle \lambda }$ à ${\displaystyle \omega }$.

Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à ${\displaystyle u({\vec {x}},t)}$ qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.

Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement

${\displaystyle \mu \ ||H||^{2}=\epsilon \left(1+{\frac {\sigma _{\Omega }^{2}}{\epsilon ^{2}\ \omega ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\ ||E||^{2}.}$