Équation diophantienne ax + by = c

Le théorème de Bachet-Bézout affirme que cette équation admet toujours au moins une solution.

La première étape de la résolution consiste à trouver une solution particulière, c'est-à-dire un couple d'entiers relatifs (x₀, y₀) vérifiant : ax₀ + by₀ = 1.

• L'algorithme d'Euclide étendu permet d'en exhiber une. (On peut remarquer que cet algorithme s'interprète comme le calcul du développement en fraction continue du rationnel a/b ; l'avant dernière réduite h_n–1/k_n–1 fournit une solution du problème[1], puisque k_n–1a – h_n–1b = (–1)ⁿ⁺¹.)
• On peut travailler modulo b, en cherchant d'abord un entier x₀ tel que ax₀ ≡ 1 (mod b). L'entier y₀ se calcule ensuite comme étant égal à (1 – ax₀)/b.
  • Pour trouver un x₀ inverse de a mod b, on peut se servir du théorème de Fermat généralisé par Euler, d'après lequel a^φ(b) est congru à 1 modulo b, où φ est l'indicatrice d'Euler : l'entier x₀ = a^φ(b)–1 convient[2]. De même, l'entier x₀ = a^λ(b)–1 convient, où λ est la fonction de Carmichael.
  • Mais on peut aussi, si b n'est pas trop grand, chercher une solution par simple balayage, en cherchant quel entier x₀ compris entre 1 et |b| – 1 vérifie la congruence linéaire ax₀ ≡ 1 (mod b).

En effet, il est facile de vérifier qu'un tel couple est solution du problème :

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\,a(x_{0}+bk)+b(y_{0}-ak)=ax_{0}+by_{0}=1.}$

Il s'agit maintenant de prouver que seuls ces couples sont solutions. Supposons donc que le couple (x, y) est solution de l'équation. On a donc

${\displaystyle (1):\qquad ax+by=1=ax_{0}+by_{0}.}$

En regroupant autrement les termes, on obtient

${\displaystyle (2):\qquad a(x-x_{0})=-b(y-y_{0}).}$

L'entier b divise donc le produit a(x – x₀). Comme a et b sont premiers entre eux, le lemme de Gauss permet de dire que b divise x – x₀. Il existe donc un entier relatif k tel que x – x₀ = kb. Soit encore

${\displaystyle (3):\qquad x=x_{0}+kb.}$

En remplaçant x – x₀ par kb dans (2), on obtient :

${\displaystyle (4)\qquad akb=-b(y-y_{0}).}$

Puis en simplifiant par –b

${\displaystyle (5)\qquad y-y_{0}=-ak.}$

Soit encore

${\displaystyle (6)\qquad y=y_{0}-ak.}$

Donc, si (x, y) est solution de (1) alors, il existe un entier relatif k tel que (x, y) = (x₀ + bk, y₀ – ak).

Une solution particulière peut être trouvée en multipliant par c une solution particulière de l'équation ax + by = 1. En effet, si (x₀, y₀) vérifie ax₀ + by₀ = 1 alors ax₀c + by₀c = c ; le couple (x₀c, y₀c) est alors solution de l'équation ax + by = c.

Un raisonnement analogue au précédent permet de trouver l'ensemble des solutions :

On appelle d le pgcd de a et de b.

En effet, d divisant a et b, d divise aussi toute expression de la forme ax + by où x et y sont des entiers relatifs, donc d doit diviser c.

On suppose maintenant que d divise c ; il existe alors trois entiers relatifs a₁, b₁ et c₁ tels que

a = da₁

b = db₁

c = dc₁

avec a₁ et b₁ premiers entre eux.

L'équation ax + by = c est alors équivalente à l'équation a₁x + b₁y = c₁ dans laquelle a₁ et b₁ sont premiers entre eux, et ce cas a déjà été résolu. On obtient alors la résolution dans le cas général :

Une solution particulière (x₁, y₁) étant connue, l'ensemble des solutions est formé des couples (x₁ + b₁k, y₁ – a₁k) où k est un entier relatif quelconque.

D'où la propriété :

On suppose dans cette section que c est un multiple de d. Parmi toutes les solutions d'une équation ax + by = c donnée, on peut chercher celle(s) pour laquelle x² + y² soit la plus petite possible.

Il s'agit de rendre minimale la valeur (x₁ + b₁k)² + (y₁ – a₁k)². Si l'on considère la fonction de la variable réelle t définie par f(t) = (x₁ + b₁t)² + (y₁ – a₁t)², l'étude de cette fonction du second degré montre que celle-ci possède un minimum en[3] ${\displaystyle t={\frac {a_{1}y_{1}-b_{1}x_{1}}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}.}$ Si t est entier, le couple solution est alors (x₁ + b₁t, y₁ – a₁t) ; sinon, l'entier qui rend f minimale est le (ou les) entier(s) k le(s) plus proche(s) de t.

Le(s) couple(s) d'entiers solution de ax + by = c dont la valeur x² + y² est minimale est (ou sont) le (ou les) couple(s) (x₁ + b₁k, y₁ – a₁k) où k est le (ou les) entier(s) le(s) plus proche(s) de t = (a₁y₁ – b₁x₁)/(a₁² + b₁²).

Dans le cas où a et b sont premiers entre eux, le cas où t est entier mérite d'être explicité. On démontre que t est entier si et seulement si l'entier c est un multiple de a² + b². La solution du système minimal est alors[3] ${\displaystyle \left({\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)}$.

Dans le cas où a et b sont premiers entre eux, il existe deux solutions au système minimal si et seulement si a et b sont impairs et l'entier c est un multiple impair de (a² + b²)/2.

La résolution de l'équation ax + by = 1, où a et b sont premiers entre eux, permet de trouver un inverse à a modulo b, c'est-à-dire un entier x tel que ax ≡ 1 (mod b). L'ensemble des solutions permet de dire qu'il existe une unique classe x telle que ax = 1 dans ℤ/bℤ. En effet, parmi les couples solutions, tous les entiers x sont congrus modulo b.

L'ensemble des points M(x, y) vérifiant l'équation ax + by = c forme une droite. Les couples d'entiers relatifs vérifiant cette équation correspondent aux points M de la droite dont les coordonnées sont entières. La résolution de l'équation dans l'ensemble des entiers relatifs permet de donner les coordonnées de ces points. Selon la valeur de c, la droite D peut ne jamais passer par des points de coordonnées entières ou bien posséder une infinité de points de coordonnées entière régulièrement répartis.

Résolution graphique de l'équation 9x + 12y = 483.

La droite d'équation 4x + 6y = 81 ne passe par aucun point de coordonnées entières.

La solution du système minimal se lit alors très facilement. Le ou les couples solutions correspondent aux points dont les coordonnées vérifient x² + y² est minimal. Ce sont donc les points de la droite les plus proches de l'origine. Le point O se projette sur la droite en H. La solution du système minimal est donc le (ou les) points de la droite de coordonnées entières situé(s) le plus près de H.

Les coordonnées de H fournissent la solution au système minimum de l'équation 2x + 3y = 26.

Les coordonnées de M1 et M2 fournissent les solutions au système minimum de l'équation 3x + 5y = 51.

Les coordonnées de M fournissent la solution au système minimum de l'équation 2x + 3y = 31.

Décomposer une fraction irréductible A/B en éléments simples, c'est la décomposer en somme d'un entier relatif et de fractions de la forme r_j,i / p_i ^j dans laquelle p_i est un nombre premier apparaissant dans la décomposition de B en facteurs premiers, j est un exposant entier non nul ne dépassant pas l'exposant de p_i dans la décomposition de B et r_j,i est un entier compris entre 0 et p_i – 1.

Lucas[4] prouve l'existence d'une telle décomposition. Il procède en plusieurs étapes.

Si ${\displaystyle B=p^{n}}$, où p est un nombre premier, une simple écriture de A dans la base p permet d'aboutir. En effet

${\displaystyle A=r_{0}+r_{1}p+r_{2}p^{2}+\cdots +r_{n-1}p^{n-1}+Ep^{n}}$

où les ${\displaystyle r_{i}}$ sont des entiers compris entre 0 et p – 1 et E est un entier relatif. D'où en divisant par B

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {r_{0}}{p^{n}}}+{\frac {r_{1}}{p^{n-1}}}+\cdots +{\frac {r_{n-1}}{p}}+E.}$

La seconde étape consiste à travailler sur un nombre B = ab où a et b sont premiers entre eux et c'est là qu'intervient l'équation diophantienne. Les deux nombres sont premiers entre eux, il existe donc des entiers relatifs x et y tels que

ax + by = A

donc

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {A}{ab}}={\frac {x}{b}}+{\frac {y}{a}}.}$

La décomposition de la fraction sera donc établie dès que seront obtenues les décompositions des fractions x/b et y/a.

Lucas procède alors de proche en proche. Si ${\displaystyle B=p_{1}^{n_{1}}\times p_{2}^{n_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{n_{k}}}$ alors on peut poser ${\displaystyle a=p_{1}^{n_{1}}}$ et ${\displaystyle b={\frac {B}{a}}}$

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {A}{ab}}={\frac {x}{b}}+{\frac {y}{a}}={\frac {x}{b}}+{\frac {y}{p_{1}^{n_{1}}}}.}$

La seconde fraction se décompose aisément et la première est à décomposer en utilisant le même processus. Il suffit de k – 1 étapes pour arriver au bout de la décomposition complète.

Lucas démontre que malgré la multiplicité des méthodes pour arriver à la décomposition, celle-ci est unique.

Exemple : Décomposition de la fraction ${\displaystyle {\frac {259}{90}}}$

On décompose 90 en 9×10. On cherche deux entiers x et y tels que 9x + 10y = 259. On peut prendre x = 1 et y = 25.

${\displaystyle (1)\qquad {\frac {259}{90}}={\frac {1}{10}}+{\frac {25}{9}}.}$

On décompose 10 en 2×5. On cherche deux entiers x et y tels que 2x + 5y = 1. On peut prendre x = 3 et y = –1.

${\displaystyle (2)\qquad {\dfrac {1}{10}}={\dfrac {3}{5}}-{\dfrac {1}{2}}=-1+{\dfrac {3}{5}}+{\dfrac {1}{2}}.}$

On écrit 25 en base 3

${\displaystyle \qquad 25=1+3\times 8=1+3\times (2+3\times 2)=1+2\times 3+2\times 3^{2}.}$

Donc

${\displaystyle (3)\qquad {\frac {25}{9}}={\frac {1}{3^{2}}}+{\dfrac {2}{3}}+2.}$

Il suffit de remplacer dans (1) les résultats trouvés dans (2) et (3)

${\displaystyle {\frac {259}{90}}=1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {3}{5}}+{\dfrac {1}{2}}.}$

Les techniques mises en place pour la résolution de l'équation ax + by = c peuvent être réinvesties pour la résolution des équations linéaires à plus d'inconnues. En particulier, elles permettent de résoudre l'équation diophantienne linéaire ax + by + cz = d.

Comme dans le cas de la dimension 2, on peut remarquer que l'équation n'admet pas de solution si d n'est pas un multiple du PGCD de (a, b, c). Si d est multiple du PGCD, on peut diviser chacun des coefficients par le PGCD, on se ramène alors à une équation du même type dans lequel les coefficients devant x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Dans l'équation ax + by + cz = d, où a, b, c sont premiers entre eux, on pose b∧c le PGCD de b et c et note b₁ et c₁ les entiers relatifs premiers entre eux tels que

${\displaystyle b=b_{1}.b\wedge c}$

${\displaystyle c=c_{1}.b\wedge c}$

by + cz étant toujours un multiple de b∧c, l'équation est équivalente au système

${\displaystyle {\begin{cases}(1)\qquad by+cz=(b\wedge c)Y\\(2)\qquad ax+(b\wedge c)Y=d.\end{cases}}}$

Les entiers a et b∧c étant premiers entre eux, la seconde équation admet des solutions et, pour tout Y la première équation admet des solutions. L'équation ax + by + cz = d admet donc toujours des solutions.

On appelle (x₁, y₁, z₁) l'une d'entre elles et (y₀, z₀) une solution de l'équation b₁y + c₁z = 1. On peut noter by₁ + cz₁ = (b∧c)Y₁.

Les solutions de l'équation (2) sont les couples : ${\displaystyle (x_{1}+(b\wedge c)k,Y_{1}-ak)}$ où k est un entier relatif quelconque.

L'équation (1) s'écrit alors :

${\displaystyle by+cz=by_{1}+cz_{1}-a(b\wedge c)k\Leftrightarrow b_{1}(y-y_{1})+c_{1}(z-z_{1})=-ak}$

dont les solutions sont les couples :

${\displaystyle (y_{1}-aky_{0}+c_{1}h,z_{1}-akz_{0}-b_{1}h)\,}$

où h est un entier relatif quelconque.

Les solutions de l'équation de départ sont donc données par l'égalité matricielle suivante

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b\wedge c&0\\-ay_{0}&c_{1}\\-az_{0}&-b_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}k\\h\end{pmatrix}}}$

où h et k sont des entiers relatifs quelconques.