Équation différentielle d'ordre un à variables séparées

Cette présentation classique, notamment pour la résolution de problèmes appliqués, est difficile à justifier mathématiquement mais elle permet d'obtenir une bonne partie des solutions. Elle utilise les notations de Leibniz pour le calcul différentiel. Elle consiste à « séparer les différentielles » en écrivant

${\displaystyle {\frac {1}{g(y)}}{\frac {dy}{dx}}=f(x)\,}$

sous la forme

${\displaystyle {\frac {1}{g(y)}}dy=f(x)dx\,}$

En intégrant séparément chaque membre :

${\displaystyle H(y)=F(x)+K\,}$

où H représente une primitive de ${\displaystyle 1/g}$ et F représente une primitive de f et K une constante arbitraire. En outre, la fonction H est continûment dérivable, strictement monotone, donc admet une fonction réciproque de sorte que la solution s'exprime comme

${\displaystyle y=H^{-1}(F(x)+K)\,}$

Le calcul utilisé précédemment ne possède un sens mathématique précis que si l'on a introduit la notion assez abstraite de différentielle. Il est possible d'en donner une version plus élémentaire, en primitivant chaque membre de l'expression

${\displaystyle {\frac {1}{g(y(x))}}y'(x)=f(x),\,}$

par rapport à la variable ${\displaystyle x}$, ce qui conduit à

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{g(y(u))}}y'(u)\,du=\int _{x_{0}}^{x}f(u)\,du}$

Ce qui, après changement de variable, est de la forme

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}{\frac {1}{g(v)}}\,dv=\int _{x_{0}}^{x}f(u)\,du}$

Et la conclusion est identique à celle du paragraphe précédent.

La fonction g est supposée localement lipschitzienne. Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, toute solution maximale qui prendrait la valeur y₀ coïnciderait automatiquement avec la solution singulière associée. En d'autres termes, les solutions singulières sont bien les seules à prendre des valeurs y qui annulent g. La méthode de détermination des solutions régulières permet d'obtenir toutes les autres.

Dans un plan (x,y) les courbes représentatives des solutions singulières sont des droites parallèles à l'axe des abscisses. Les autres courbes solutions ne les croisent pas et s'inscrivent donc dans une des régions délimitées par les solutions singulières.