Équation de la vitesse des courants ascendants dans un nuage convectif

Bilan des forces

La masse de la parcelle est

${\displaystyle m=Se\rho }$

où ρ est la masse volumique de la parcelle.

Le poids de la parcelle est: ${\displaystyle W=-\rho Seg}$

où g est l'accélération de la pesanteur.

À l'altitude z la pression est p(z) et à l'altitude z + e, la pression est p(z + e). La force exercée sur la parcelle d'air est la suivante:

${\displaystyle F=W+p(z)S-p(z+e)S}$

On obtient donc (e est infiniment petit) :

${\displaystyle p(z+e)=p(z)+{\partial p \over \partial z}e}$

Dans un cumulonimbus, on ne peut pas utiliser l'équation hydrostatique. On développe.

${\displaystyle p(x,y,z)=p_{0}(z)+p'(x,y,z)}$

Donc,

${\displaystyle {\partial p(x,y,z) \over \partial z}={dp_{0}(z) \over dz}+{\partial p'(x,y,z) \over \partial z}}$

On obtient donc:

${\displaystyle p(x,y,z)-p(x,y,z+e)=p_{0}(z)-p_{0}(z+e)+p'(x,y,z)-\left(p'(x,y,z)+{\partial p' \over \partial z}e\right)}$

On utilise l'équation hydrostatique pour l'air extérieur et l'on écrit:

${\displaystyle p_{0}(z)-p_{0}(z+e)=+\rho _{0}ge}$

Donc après remplacement, l'on obtient :

${\displaystyle p(x,y,z)-p(x,y,z+e)=\rho _{0}ge-{\partial p' \over \partial z}e}$

Donc,

${\displaystyle p(x,y,z)-p(x,y,z+e)=\left(\rho _{0}g-{\partial p' \over \partial z}\right)e}$

L'accélération a est

${\displaystyle a={F \over m}}$

On remplace et donc:

${\displaystyle a={W+p(x,y,z)S-p(x,y,z+e)S \over m}}$

Donc,

${\displaystyle a={-\rho Seg+p(x,y,z)S-p(x,y,z+e)S \over \rho Se}}$

Donc,

${\displaystyle a=-g+{p(x,y,z)-p(x,y,z+e) \over \rho e}}$

On remplace et donc:

${\displaystyle a=-g-\left(-\rho _{0}g+{\partial p' \over \partial z}\right)e\times {1 \over \rho e}}$

Donc,

${\displaystyle a=-g-\left(-\rho _{0}g+{\partial p' \over \partial z}\right)\times {1 \over \rho }}$

Donc,

${\displaystyle a=-g+g{\rho _{0} \over \rho }-{\partial p' \over \partial z}\times {1 \over \rho }}$

Au premier ordre, l'on a ${\displaystyle \rho \approx \rho _{0}}$.

Donc au premier ordre,

${\displaystyle a=-g+g{\rho _{0} \over \rho }-{\partial p' \over \partial z}\times {1 \over \rho _{0}}}$

On a:

${\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho '}$

Donc,

${\displaystyle {\rho _{0} \over \rho }={\rho _{0} \over \rho _{0}+\rho '}}$

Au premier ordre, l'on obtient donc:

${\displaystyle {\rho _{0} \over \rho }=1-{\rho ' \over \rho _{0}}}$

Donc,

${\displaystyle a=-g+g\left(1-{\rho ' \over \rho _{0}}\right)-{\partial p' \over \partial z}\times {1 \over \rho _{0}}}$

Donc,

${\displaystyle a=-{\rho ' \over \rho _{0}}g-{\partial p' \over \partial z}\times {1 \over \rho _{0}}}$

Loi des gaz parfaits

D'après la loi des gaz parfaits, on a:

${\displaystyle p=\rho RT}$

Donc,

${\displaystyle \rho ={p \over RT}}$

${\displaystyle \rho ={p_{0}+p' \over R(T_{0}+T')}}$

Donc,

${\displaystyle \rho ={p_{0}\left(1+{p' \over p_{0}}\right) \over RT_{0}\left(1+{T' \over T}\right)}}$

Donc au premier ordre,

${\displaystyle \rho =\rho _{0}{1-{T' \over T_{0}} \over 1+{p' \over p_{0}}}}$

Au premier ordre, on obtient donc :

${\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1-{T' \over T_{0}}\right)\times \left(1-{p' \over p_{0}}\right)}$

Donc,

${\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1-{T' \over T_{0}}+{p' \over p_{0}}\right)}$

Donc,

${\displaystyle \rho '=\rho -\rho _{0}=\rho _{0}\left(1-{T' \over T_{0}}+{p' \over p_{0}}-1\right)}$

Finalement,

${\displaystyle {\rho ' \over \rho _{0}}=-{T' \over T_{0}}+{p' \over p_{0}}}$

L'accélération est donc:

${\displaystyle {dw \over dt}=a=g\left({T' \over T_{0}}-{p' \over p_{0}}\right)-{1 \over \rho _{0}}{\partial p' \over \partial z}}$

On a redémontré la formule de List[10].

Loi des gaz parfaits

Soit R_a la constante des gaz parfaits pour l'air et R_v la constante des gaz parfaits pour la vapeur d'eau.

La pression du mélange air + vapeur d'eau est la somme des pressions partielles. Soit ρ_a la masse volumique de l'air et ρ_v la masse volumique de la vapeur d'eau. D'après la loi des gaz parfaits, la pression totale est la suivante:

${\displaystyle p=p_{a}+p_{v}=\rho _{a}R_{a}T+\rho _{v}R_{v}T}$

Donc,

${\displaystyle p=\rho _{a}R_{a}T\left(1+{\rho _{v}R_{v} \over \rho _{a}R_{a}}\right)T}$

On définit ${\displaystyle \epsilon ={R_{a} \over R_{v}}\approx 0,622}$ et ${\displaystyle r_{v}={\rho _{v} \over \rho _{a}}}$.

On obtient alors:

${\displaystyle p=\rho _{a}R_{a}T\left(1+{r_{v} \over \epsilon }\right)T}$

Soit ${\displaystyle \rho _{m}=\rho _{a}+\rho _{v}}$.

On a alors :

${\displaystyle \rho _{m}=\rho _{a}+\rho _{a}{\rho _{v} \over \rho _{a}}=\rho _{a}(1+r_{v})}$

On substitue et donc:

${\displaystyle p={\rho _{m} \over 1+r_{v}}R_{a}T\left(1+{r_{v} \over \epsilon }\right)T}$

On définit la température virtuelle comme suit :

${\displaystyle T_{v}=\left({1+{r_{v} \over \epsilon } \over 1+r_{v}}\right)T}$

On a alors la relation exacte suivante:

${\displaystyle p=\rho _{m}pT_{v}}$

On note que T_v > T et donc l'air humide est moins dense que l'air sec.

Soit ${\displaystyle \rho =\rho _{a}+\rho _{v}+\rho _{l}+\rho _{g}}$ la masse volumique totale de la parcelle d'air. ρ_l et ρ_g sont les masses par unité de volume respectives de l'eau et de la glace.

On définit la température potentielle en densité T_ρ telle que : ${\displaystyle p=\rho R_{a}T_{\rho }}$. On a alors:

${\displaystyle T_{\rho }=\left({1+{r_{v} \over \epsilon } \over 1+r_{t}}\right)T}$

où r_t est le rapport de mélange total de l'eau.

Fonction d'Exner

On définit la fonction d'Exner comme suit:

${\displaystyle \pi =\left({p \over p_{00}}\right)^{R_{a} \over c_{p,a}}}$

où R_a est la constante des gas parfaits pour l'air sec et c_p,a est la chaleur spécifique à pression constante. p₀₀ est la pression au niveau de la mer.

La température potentielle est alors définie comme suit:

${\displaystyle \theta ={T \over \pi }}$

La température potentielle virtuelle est définie par :

${\displaystyle \Theta _{v}={T_{v} \over \pi }}$

On obtient donc:

${\displaystyle \theta _{v}=T_{v}\left({p \over p_{00}}\right)^{-{R_{a} \over c_{p,a}}}}$

Donc,

${\displaystyle {\delta \theta _{v} \over \theta _{v}}={\delta T_{v} \over T_{v}}-{\delta p \over p}{R_{a} \over c_{p,a}}}$

On note que ${\displaystyle R_{a}=c_{p,a}-c_{v,a}}$ . Donc,

${\displaystyle {\delta \theta _{v} \over \theta _{v}}={\delta T_{v} \over T_{v}}-{c_{p,a}-c_{v,a} \over c_{p,a}}\ {\delta p \over p}}$

Accélération dans un nuage

On rappelle que :

${\displaystyle a=-{\rho ' \over \rho _{0}}g-{\partial p' \over \partial z}\times {1 \over \rho _{0}}}$

On écrit:

${\displaystyle \rho '=\rho _{m}-\rho _{0}}$

On a :

${\displaystyle \rho _{m}={p \over R_{a}T_{v}}={p_{0}+p' \over R_{a}(T_{0,v}+T'_{v})}}$

${\displaystyle \rho _{0}={p_{0} \over R_{a}T_{0}}}$

Donc,

${\displaystyle \rho '={p_{0}+p' \over R_{a}(T_{0,v}+T'_{v})}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}}$

On développe :

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}(T_{0,v}+T'_{v})}+{p' \over R_{a}(T_{0,v}+T'_{v})}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}}$

Au premier ordre, on a :

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0,v}\left(1+{T'_{v} \over T_{0,v}}\right)}+{p' \over R_{a}T_{0,v}}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}}$

Donc au premier ordre:

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}\left(1-{T'_{v} \over T_{0,v}}\right)+{p' \over R_{a}T_{0,v}}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}}$

Donc,

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}-{T'_{v} \over T_{0,v}}{p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}+{p' \over R_{a}T_{0,v}}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}}$

Donc en permuttant:

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}-{T'_{v} \over T_{0,v}}{p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}+{p' \over R_{a}T_{0,v}}}$

Donc.

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}-{T'_{v} \over T_{0,v}}\rho _{m}+{p' \over p_{0}}\rho _{m}}$

Au premier ordre, on peut écrire :

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0,v}}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}-{T'_{v} \over T_{0,v}}\rho _{0}+{p' \over p_{0}}\rho _{0}}$

On rappelle que:

${\displaystyle T_{0,v}=T_{0}(1+\gamma ')}$

On remplace et donc:

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0}(1+\gamma ')}-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}-\left({T'_{v} \over T_{0,v}}-{p' \over p_{0}}\right)\rho _{0}}$

Donc au premier ordre,

${\displaystyle \rho '={p_{0} \over R_{a}T_{0}}(1-\gamma ')-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}-\left({T'_{v} \over T_{0,v}}-{p' \over p_{0}}\right)\rho _{0}}$

Donc,

${\displaystyle \rho '=\left(-\gamma '-{p_{0} \over R_{a}T_{0}}-\left({T'_{v} \over T_{0,v}}\right)-{p' \over p_{0}}\right)\rho _{0}}$

Donc,

${\displaystyle -{\rho ' \over \rho _{0}}={T'_{v} \over T_{0,v}}-{p' \over p_{0}}+\gamma '}$

On rappelle qu'en utilisant les notations précédentes que:

${\displaystyle {\delta \theta _{v} \over \theta _{v}}={\delta T_{v} \over T_{v}}-{c_{p,a}-c_{v,a} \over c_{p,a}}\ {\delta p \over p}}$

Donc,

${\displaystyle {\theta '_{v} \over \theta _{v}}={T'_{v} \over T_{v}}-\left(1-{c_{v,a} \over c_{p,a}}\right)\ {p' \over p}}$

Donc,

${\displaystyle {T'_{v} \over T_{v}}-{p' \over p}={\theta '_{v} \over \theta _{v}}-{c_{v,a} \over c_{p,a}}{p' \over p}}$

On obtient donc finalement:

${\displaystyle -{\rho ' \over \rho _{0}}={\theta '_{v} \over \theta _{v}}-{c_{v,a} \over c_{p,a}}{p' \over p}+\gamma '}$

Et donc l'accélération devient :

${\displaystyle {dw \over dt}=a=-{\partial p' \over \partial z}\times {1 \over \rho _{0}}+g\left({\theta '_{v} \over \theta _{v}}-{c_{v,a} \over c_{p,a}}{p' \over p}+\gamma '\right)}$