Équation de bilan de la quantité de mouvement

En mécanique des fluides, l'équation de bilan de la quantité de mouvement découle du principe fondamental de la dynamique appliqué à un fluide. Avec l'équation de conservation de la masse et l'équation de la chaleur elle fait partie des équations de Navier-Stokes[1].

Formulation générale

De façon générale, le bilan de la quantité de mouvement s'exprime sous la forme :

{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\cdot {\overline {\overline {\tau }}}+\rho {\vec {f}}

Dans ces équations :

$t$ représente le temps (unité SI : s) ;
$\rho$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg m⁻³) ;
${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m s⁻¹) ;
$p$ désigne la pression (unité SI : Pa) ;
${\overline {\overline {\tau }}}=\left(\tau _{i,j}\right)_{i,j}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
${\vec {f}}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : m s⁻²) ;

L'opérateur $\otimes$ désigne le produit dyadique

{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}^{\mathrm {T} }

avec $\times$ le produit matriciel classique.

Suivant le problème que l'on aura à traiter, des modèles simplifiés peuvent être envisagés.

Cas particuliers

Fluide parfait (équation d'Euler)

Dans le cas d'un fluide parfait (c'est-à-dire en considérant que les effets de viscosité sont négligeables), l'équation d'Euler est retrouvée.

Fluide réel incompressible newtonien

Dans ce cas la loi de comportement s'écrit : $\tau _{ij}=2\mu D_{ij}$ où $\mu$ est la viscosité dynamique et $D_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})$ est le tenseur des vitesses de déformation. De plus la masse volumique $\rho$ est considérée comme constante.

La conservation de la quantité de mouvement s'écrit alors :

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu {\vec {\nabla }}^{2}v+{\vec {f}}

où $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ est la viscosité cinématique.

Cette équation peut s'exprimer sous la forme vectorielle :

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+{\vec {\text{rot}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {v}}={\vec {f}}-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p-\nu {\vec {\text{rot}}}({\vec {\text{rot}}}{\vec {v}})

Annexes

Notes et références

C.L.M.H. Navier, Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, Mém. Acad. Roy. Sci., tome 6, 1923

Bibliographie

P. Chassaing, Mécanique des fluides, éléments d'un premier parcours 3^eédition, Toulouse, éditions Cépaduès, 2010

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