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Équation de bilan de la quantité de mouvement

En mécanique des fluides, l'équation de bilan de la quantité de mouvement découle du principe fondamental de la dynamique appliqué à un fluide. Avec l'équation de conservation de la masse et l'équation de la chaleur elle fait partie des équations de Navier-Stokes[1].

Formulation générale

De façon générale, le bilan de la quantité de mouvement s'exprime sous la forme :

Dans ces équations :

  • représente le temps (unité SI : s) ;
  • désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg m−3) ;
  • désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m s−1) ;
  • désigne la pression (unité SI : Pa) ;
  • est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
  • désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : m s−2) ;

L'opérateur désigne le produit dyadique

avec le produit matriciel classique.

Suivant le problème que l'on aura à traiter, des modèles simplifiés peuvent être envisagés.

Cas particuliers

Fluide parfait (équation d'Euler)

Dans le cas d'un fluide parfait (c'est-à-dire en considérant que les effets de viscosité sont négligeables), l'équation d'Euler est retrouvée.

Fluide réel incompressible newtonien

Dans ce cas la loi de comportement s'écrit : est la viscosité dynamique et est le tenseur des vitesses de déformation. De plus la masse volumique est considérée comme constante.

La conservation de la quantité de mouvement s'écrit alors :

est la viscosité cinématique.

Cette équation peut s'exprimer sous la forme vectorielle :

Annexes

Notes et références

  1. C.L.M.H. Navier, Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, Mém. Acad. Roy. Sci., tome 6, 1923

Bibliographie

  • P. Chassaing, Mécanique des fluides, éléments d'un premier parcours 3eédition, Toulouse, éditions Cépaduès, 2010

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