Équation de Richards

L’équation de Richards sera établie ici dans le cas simple d'un écoulement vertical. Le principe de conservation de la masse énonce que le taux de variation du degré de saturation d'une particule est égal au taux de variation de la somme des débits q entrants et sortants de ce volume :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{{\vec {q}}_{i,\,{\text{in}}}}-\sum _{j=1}^{m}{{\vec {q}}_{j,\,{\text{out}}}}\right)}$

Mise sous forme unidimensionnelle pour la direction ${\displaystyle {\hat {k}}}$, on obtient l'équation de continuité en 1D:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}q}$

La densité de flux d'eau q dans un sol soumis a un gradient de charge hydraulique est régi par la loi empirique de Darcy:

${\displaystyle q=-K{\frac {\partial H}{\partial z}}}$

Reportant la densité de flux q dans l'équation de continuité ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K{\frac {\partial H}{\partial z}}\right]}$

En faisant l'hypothèse que la charge hydraulique totale est composée par les charge matricielle et gravitationnelle (H= h + z), on obtient :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}\right)\right]={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right]}$

On obtient ainsi l'équation annoncée, dite « formulation mixte[4] » (ou à deux champs) de l’équation de Richards.

L’équation de Richards intervient dans de nombreux articles de sciences de l'environnement puisqu'elle décrit l'écoulement au sein de la zone vadose mais son caractère non-linéaire intéresse aussi les mathématiciens. On la rencontre d'ordinaire sous trois formes. La formulation mixte (vue ci-dessus) fait intervenir la pression interstitielle et le degré de saturation ; mais on peut l'écrire en ne faisant apparaître qu'un champ : la charge hydraulique, ou le taux de saturation.

La résolution numérique de l’équation de Richards demeure l'un des problèmes d'analyse numérique les plus difficiles pour les sciences naturelles[6]. On a, d'ailleurs, critiqué l’équation de Richards, tantôt pour sa sophistication excessive, tantôt pour son caractère « trop simpliste[7] » ; quoi qu'il en soit, le comportement chaotique de ses solutions est bien connu[8] - [9] : on ne dispose d'aucun résultat de convergence pour une loi de comportement donnée. Ce risque de non-convergence restreint l'application générale du modèle de Richards, qui a aussi été critiqué pour la place excessive qu'il fait aux phénomènes de capillarité dans les transferts d'eau[10] ; même pour la simulation de l’infiltration verticale de l'eau de pluie dans un sol sec, il faut un pas d'espace inférieur au cm au voisinage de la surface[11], du fait de la taille minuscule du volume représentatif des écoulements multiphasiques en milieu poreux. Quant aux calculs tridimensionnels, la solution de l’équation de Richards est sensible à l'anisotropie du sol : le rapport entre perméabilité horizontale et verticale ne doit pas, semble-t-il, dépasser beaucoup 7 pour que la solution soit stable.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Richards equation » (voir la liste des auteurs).
• Infiltration (hydrologie)