Équation d'état de Birch-Murnaghan

L'étude de la structure interne de la terre passe par la connaissance des propriétés mécaniques des constituants des couches internes de la planète. On parle alors de conditions extrêmes : les pressions s'y comptent en centaines de gigapascals et les températures en milliers de degrés. L'étude des propriétés de la matière dans ces conditions peut se faire de manière expérimentale grâce à des dispositifs comme la cellule à enclumes de diamant pour les pressions statiques, ou en soumettant la matière à des ondes de choc. Elle a également donné lieu à des travaux théoriques visant à déterminer des équations d'état, c'est-à-dire des relations liant les différents paramètres qui définissent dans ce cas l'état de la matière : le volume (ou la densité), la température et la pression.

On peut distinguer deux approches :

• les équations d'état dérivées de potentiels interatomiques, ou éventuellement de calculs ab initio ;
• les équations d'état dérivées des relations générales de la mécanique et de la thermodynamique. L'équation de Birch-Murnaghan appartient à cette seconde catégorie.

Plusieurs dizaines d'équations ont ainsi été proposées par différents auteurs[2]. Ce sont des relations empiriques, dont la qualité et la pertinence dépendent de l'usage qui en est fait. On peut en juger selon différents critères : le nombre de paramètres indépendants qu'elles font intervenir, la signification physique qu'il est possible d'attribuer à ces paramètres, la qualité des affinements qu'elles permettent sur les données expérimentales, la cohérence des hypothèses théoriques qui les sous-tendent, leur capacité à extrapoler le comportement des solides aux fortes compressions[3].

Cette équation fait intervenir trois paramètres, tous trois pris à température constante : le volume à pression nulle ${\displaystyle V_{0}}$, le module de compressibilité noté ici ${\displaystyle K_{0}}$ et sa dérivée première par rapport à la pression ${\displaystyle K_{0}'}$. Ces deux derniers sont donnés respectivement par

${\displaystyle K_{0}=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{P=0}}$

et

${\displaystyle K_{0}'=\left({\frac {\partial K}{\partial P}}\right)_{P=0}}$

Sa démonstration repose sur un développement en série de l'énergie libre en fonction de la mesure d'Euler de la déformation notée ${\displaystyle f}$ et donnée par

${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]}$

On utilise couramment l'équation au troisième ordre qui s'écrit

${\displaystyle P={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right]}$

Au second ordre, on a ${\displaystyle K_{0}'=4}$ et l'expression précédente est amputée de son dernier facteur.

Cette relation peut être utilisée pour estimer les coefficients ${\displaystyle K_{0}}$ et ${\displaystyle K'_{0}}$ à partir de mesures du volume en fonction de la pression, notamment par diffraction des rayons X. Le tableau suivant donne quelques exemples de matériaux étudiés de cette façon à température ambiante.

Composé	${\displaystyle V_{0}}$	${\displaystyle K_{0}}$ (GPa)	${\displaystyle K'_{0}}$
Andalousite[4]		144,2(7)	6,8(2)
Sillimanite[4]		164(1)	5,0(3)
MgGeO3[5]	82,2(3)	229(3)	3,7

• (en) F. Birch, « Finite elastic strains of cubic crystals », Physical Review, vol. 71,‎ 1947, p. 809 (lire en ligne)