Écart type géométrique

Si la moyenne géométrique d'un ensemble de nombres {A₁, A₂, ..., A_n} est notée μ_g, alors l'écart type géométrique est défini par :

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}\right).\qquad \qquad (1)}$

où

${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}.\,}$

on a

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$

et

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,}$

${\displaystyle \ln \,\mu _{g}}$ est donc la moyenne arithmétique de ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$, par conséquent l'écart type de cet ensemble de nombres est :

${\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}}$[b 1]

d'où

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}}$.

L'écart type géométrique est relié à la loi log-normale. Celle-ci est une distribution de Laplace-Gauss pour les variables ${\displaystyle Y=lnA}$ ; A suit alors une loi log-normale. L'écart type géométrique est donc l'exponentielle de l'écart type de Y, puisque ${\displaystyle \ln \mu _{g}}$ est la moyenne de Y.

Ainsi, la moyenne géométrique et l'écart type géométrique sont deux grandeurs pouvant être utilisées pour trouver les bornes d'un intervalle de confiance pour la distribution log-normale, d'une manière identique à ce qui est fait pour la loi normale[b 2].