Zéro-coupon

On modélise le temps par l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$ : 0 représente aujourd'hui, 1 la période suivante, etc. (la période pourra correspondre à 1 mois, 6 mois, 1 an...). On considère un zéro-coupon d'échéance T. On note C le nominal du zéro-coupon (en unité monétaire), e sa prime d'émission (en %), ${\displaystyle \rho }$ sa prime de remboursement (en %) et ${\displaystyle r_{t}}$ le taux d'actualisation en vigueur à la période t (en %): on pourra l'approximer par une moyenne géométrique des taux à l'intérieur de la période.

Le zéro-coupon étant une obligation, il s'agit d'un actif de l'univers certain[1] c'est-à-dire que son prix P est égal à la somme actualisée de ses cash-flow (revenus). Ici, seul le montant remboursé intervient :

${\displaystyle P=(1-e)C={\frac {(1+\rho )C}{(1+r_{1})...(1+r_{t})...(1+r_{T})}}\Leftrightarrow {\frac {P}{C}}=(1-e)={\frac {(1+\rho )}{\prod _{t=1}^{T}(1+r_{t})}}}$

On peut considérer que les taux d'actualisation sont tous égaux à la moyenne géométrique des taux sur toutes les périodes:

Si ${\displaystyle 1+{\tilde {r}}={\sqrt[{T}]{\prod _{t=1}^{T}(1+r_{t})}}}$, alors: ${\displaystyle (1-e)={\frac {(1+\rho )}{(1+{\tilde {r}})^{T}}}}$

En pratique pour un zéro-coupon, ${\displaystyle e=\rho =0}$ (aucune prime) : la partie suivante explique pourquoi.

Soit T+1 périodes décrites par ${\displaystyle t=\{0...T\}}$. Le revenu versé pour un zéro-coupon V de nominal 1, d'échéance t et sans prime se note sous la forme matricielle par le vecteur :

${\displaystyle V_{t}=[0,0,...,\underbrace {1} _{t},...,0,0]}$.

On voit immédiatement que s'il existe T zéro-coupons dans l'économie, alors le marché obligataire est complet: toute obligation pourra être répliquée par le portefeuille synthétique des zéro-coupon de manière très simple. En effet, l'ensemble des T zéro-coupon forme une base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{T}}$ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Une obligation X d'échéance T et qui rapporte ${\displaystyle a_{t}}$ à chaque période t aura comme profil de revenu le vecteur ${\displaystyle X=[a_{1},...,a_{t},...,a_{T}]}$ pourra être facilement synthétisée par le portefeuille de zéro-coupon: ${\displaystyle a_{1}\cdot V_{1}+...+a_{t}\cdot V_{t}+...+a_{T}\cdot V_{T}}$.

• Risque de signature: le zéro-coupon ne versant aucun cash-flow intermédiaire, il possède le risque de signature le plus élevé pour une obligation.

• Risque de taux: la duration du zéro-coupon étant maximum et égale à l'échéance, la sensibilité de l'obligation (duration divisée par 1 + le taux d'intérêt) sera plus forte que pour une obligation de duration évidemment plus faible.